Matemática

Capítulo 3


Anillos





Anillo de integridad, ideales, homomorfismo, subanillos y dominios de integridad


ANILLOS DE INTEGRIDAD


Sobre un anillo la ley de simplificación es válida para la adición, pero no necesariamente para la multiplicación.


Por ejemplo en el anillo de clase residual (mod 4), ac = bc no implica a=b, aun sea c ( 0.


Definición: En un anillos, siexiste elementos a y b tales a ( 0 y b ( 0 y ab = 0, se dice que a y b son divisores de cero.


Cuando se factoriza x2 – 5x + 6 = 0, observamos una de las propiedades más importantes de los sistemas numéricos: el producto de dos números es cero si, por lo menos, uno de los factores es cero.


x2 – 5x + 6 = (x - 2) (x – 3) = 0.


En este ejemplo, x es un elemento de C12: x ( C12. En C12no solamente 0a =a0 =0, para todo a de C12, sino que también

2.6=6.2=0
3.4=4.3=0
3.8=8.3=0
4.6=6.4=0
4.9=9.4=0
6.6=0
6.8=8.6=0
6.10=10.6=0
8.9=9.8=0

Esto muestra que la ecuación no solamente tiene a 2 y 3 como soluciones, sino que también 6 y 11 son soluciones en C12.


Diga ¿porqué?, ¿existen otras soluciones?


Este ejemplo muestra que 3, 2, 4, 6, 8, 9, 10 son divisores de cero.


Teorema: La ley de simplificación es válida sobre un anillo para todo elemento no nulo si, y solamente si, el producto de dos elementos diferentes de cero es distinto de cero.


Demostrar el teorema.


Definición: Un anillo conmutativo en el que es válida la ley de simplificación sellama anillo de integridad.


Definición: En los anillos que no son de integridad existen elementos no nulos cuyo producto es nulo: a estos elementos se le llama divisores de cero.


Ejemplo: En el anillo de las clases residuales (mod 6), C6; C2.C3 = C0, C2 ( C0, C3 ( C0; C2 y C3 son divisores de cero.


Definición: Si en un anillo de integridad la multiplicación admite elemento neutroe, se llama dominio de integridad. En otras palabras, es un anillo conmutativo, con unidad y sin divisores de cero.


Ejemplos: (ℤ, +, ( ( es un dominio de integridad.


(2ℤ, +, ( ( son un anillo de integridad, pero no un dominio de integridad porque 1 no es par.


Definición: En todo anillo A, cualquier subconjunto que sea un subgrupo del grupo aditivo, usado para lamultiplicación, posee la estructura de anillo y se denomina subanillo de A.


Ejemplo: En (ℤ, +, ( ( los múltiplos de un entero a son un subanillo.


Ejemplo: Sea A = (0, a, b, a+b (. La adición se define en la tabla a) y da un grupo de orden 4. El producto se define como 0.x = x.0 = 0 (x(A y por la tabla b). Verifique si es un anillo.

|+ |0 |a |b |a+b |


Observe que a.b (b.a y que a y a+b actúan como unidades.


Diga si los subconjuntos (0, a(, (0, b(, (0, a+b( son subanillos.


La siguiente figura sirve para explicar las distintas clases de estructuras algebraicas. Las flechas indican la inclusión en orden descendente.





Ideales de un anillo conmutativo


Los ideales son subconjuntos de los anillos que son muy importantes en matemáticas.Definición: Un subconjunto no vació I de un anillo conmutativo A es un ideal si cumple las siguientes propiedades:


1. (x(I, (y(I, x-y(I (I es un subgrupo de (A, +( )


2. (x(I, (z(A, xz(I (I es una parte permitida de (A, (( )


Ejemplo: En (ℤ, +, (( todo conjunto I = (x : x = az, z(ℤ( ¿es un ideal de ℤZ?


Verificar si todo elemento de I es múltiplo de un elemento fijoa.


Si esto sucede se dice que el ideal es principal, o que el ideal es generado por el elemento a. Se representa por (a) o a.A.


Ejemplo: El conjunto formado por los múltiplos de 6 en ℤ es un ideal principal y se representa por 6ℤ.


Homomorfismo de anillos


Definición: Una aplicación f de un anillo (A, +, .( es un anillo (A’, +, .(`es un homomorfismo de anillos si es un...