Matemáticas aplicadas a la Ingeniería Química

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´
TOPICOS DE MATEMATICAS
APLICABLES A LA INGENIER´
IA
Jorge A. Esquivel-Avila

Universidad Aut´noma Metropolitana
o
Unidad Azcapotzalco
Mayo, 2009.

2

Pr´logo
o
En estas notas presentamos algunos temas de matem´ticas, presentes en dia
versas asignaturas correspondientes a programas de carreras de ingenier´ Est´n
ıa.
a
basadas en la experiencia del autor, a lo largo dediez a˜os, impartiendo cursos
n
tales como: matem´ticas aplicadas a la ingenier´ matem´ticas aplicadas a la
a
ıa,
a
ingenier´ qu´
ıa ımica y fundamentos matem´ticos para la ingenier´ electr´nica, en
a
ıa
o
la unidad Azcapotzalco de la Universidad Aut´noma Metropolitana. Recalco,
o
los temas son sobre matem´ticas, aunque no dirigidas a carreras de matem´ticas,
a
a
en donde el enfoquees m´s sobre el desarrollo y profundidad te´rica, a trav´s
a
o
e
de teoremas y sus demostraciones. No digo, con ´sto, que los temas tratados
e
aqu´ contengan argumentos poco sustentables matem´ticamente. El ´nfasis en
ı
a
e
este escrito es operativo. El fin es calcular algo. Por ello, a´n para estudiantes
u
de carreras de matem´ticas, su estudio es util. Son un complemento a la fora
´maci´n te´rica. En ning´n momento el objetivo es exponer las demostraciones
o
o
u
matem´ticas que fundamentan lo que aqu´ se escribe. La profundidad y formalisa
ı
mo del contenido, son los adecuados para estudiantes de ingenier´ Constituyen
ıa.
una colecci´n de conocimientos b´sicos de algunos t´picos en matem´ticas que
o
a
o
a
son de uso frecuente en ingenier´ sin pretender cubriraplicaciones en ´sta ultiıa,
e
´
ma disciplina. El objetivo es que el estudiante aprenda, con suficiente destreza,
los conocimientos de matem´ticas que aplicar´ en cursos de ingenier´ id´neos
a
a
ıa, o
para ello, y los use en forma correcta.

3

4

Cap´
ıtulo 1

N´ meros complejos
u
1.1.

Definiciones.

Considere un punto en el plano: (x, y), donde x ∈ IR, y ∈ IR. Se definecomo
n´mero complejo z = (x, y), a este par ordenado de n´meros reales. Dos n´ meros
u
u
u
complejos son iguales si representan el mismo punto en dicho plano, por ello la
palabra ordenado. Esto es, si x = y, entonces (x, y) = (y, x). Adem´s, x =
a
(z) = parte real del n´mero complejo z, y = (z) = parte imaginaria del
u
n´ mero complejo z, al plano se le llama plano complejo, al ejehorizontal se le
u
llama eje real, al eje vertical eje imaginario, y al conjunto de n´meros complejos
u
se le denota por C.
En caso de que la parte imaginaria sea cero: y = (z) = 0, entonces el
n´mero complejo correspondiente (x, 0) ocupa, en el plano complejo, un lugar
u
en el eje horizontal o eje real. Esto es, (x, 0) ∈ IR, y de esta manera se escribe
que (x, 0) = x. Entonces se tiene que IR ⊂C. Esto es, los n´ meros reales
u
est´n representados por el eje horizontal del plano complejo. Por otro lado, si
a
x = (z) = 0, entonces al n´mero (0, y), se le llama imaginario. En particular,
u
existe uno muy importante: (0, 1), que se llama unidad imaginaria y se le denota
por i.

1.2.

Suma y multiplicaci´n.
o

Dados dos n´meros complejos: z1 = (x1 , y1 ), z2 = (x2 , y2 ), lasuma es igual
u
al n´mero complejo:
u
z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ C.
1
1
Ejemplo: si z1 = ( 2 , − 3 ), z2 = (3, 1 ), entonces z1 +z2 = ( 2 +3, − 3 + 1 ) = ( 17 , 1 ).
5
2
5
2
5 6

La multiplicaci´n es igual al n´mero complejo:
o
u
z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1y2 + y1 x2 ) ∈ C.
5

´
CAP´
ITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS

6

Usando los n´ meros del ejemplo anterior: z1 · z2 =( 2 ×3 + 1 × 1 , 2 × 1 − 1 ×3) =
u
5
3
2 5
2
3
4
( 41 , − 5 ).
30

1.3.

Propiedades.

De utilidad pr´ctica son las siguientes, y que nos recuerdan las que usamos
a
al operar con n´meros reales.
u
z1 + z2 = z2 + z1 , conmutatividad de la suma,
(z1 + z2 ) + z3 = z2 + (z1 + z3 ), asociatividad de la suma,
z1 · z2 = z2 · z1 , conmutatividad del producto,
(z1 · z2 ) · z3 = z2...