Matemáticas Discretas


Unidad 2
Lógica proposicional

Aviña Alfaro Adyair Gerardo





2.1 INTRODUCCIÓN AL CALCULO DE PROPOCICIONES

En muchos algoritmos y demostraciones se usan expresiones lógicas como:
“SI p ENTONCES” o “si p1 Y p2, ENTONCES q1 O q2”
Por consiguiente, es necesario conocer los casos en que estas expresiones son VERDADERAS o FALSAS; es decir,
Conocer el “valor de verdad” de tales expresiones. Estostemas se analizan en este capítulo.
También se investiga el valor de verdad de declaraciones cuantificadas, que son proposiciones en las que se usan
Los cuantificadores lógicos “para todo” y “existe”.
2.2 CONCEPTO DE ARGUMENTO Y TIPOS DE PROPOCICIONES LOGICAS

Un argumento es una aseveración de que un conjunto dado de proposiciones P1, P2,. . ., Pn, que se denominan premisas,
Conduce (tiene unaconsecuencia) a otra proposición Q, que se denomina conclusión. Un argumento se denota por
P1, P2,. . ., Pn, _ Q
A continuación se formaliza el concepto de “argumento lógico” o “argumento válido”:
Definición 4.4: Un argumento P1, P2,. . ., Pn, _ Q es válido si Q es verdadera siempre que todas las premisas P1, P2,. . .,
Pn son verdaderas.
Un argumento que no es válido se denomina falacia.

Unaproposición es una afirmación declarativa que es falsa o verdadera, pero no ambas. Considere, por
Ejemplo, las seis oraciones siguientes:
i) El hielo flota en el agua.
ii) China está en Europa.
iii) 2 + 2 = 4.
iv) 2 + 2 = 5.
v) ¿A dónde vas?
Vi) Haz tu tarea.
Las cuatro primeras son proposiciones; las dos últimas, no. También, i) y iii) son verdaderas, pero ii) y iv) son falsas.
Proposicionescompuestas
Muchas proposiciones son compuestas; es decir, están compuestas de su proposiciones y varios conectivos que se
Analizarán dentro de poco. Estas proposiciones se denominan proposiciones compuestas. Se dice que una proposición
Es primitiva si no es posible separarla en proposiciones más simples; es decir, si no es compuesta.
Por ejemplo, las proposiciones anteriores i) a iv) son primitivas. Porotra parte, las dos siguientes proposiciones son
Compuestas:
“Las rosas son rojas y las violetas son azules” y “Juan es inteligente o estudia cada noche”.
La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad lo determinan los valores de
Verdad de sus subproposiciones junto con la forma en que se conectan para formar las proposiciones compuestas.
En la siguiente sección seestudian algunos de estos conectivos.
2.3 CONEXIONES LOGICAS Y JERARJICAS
En esta sección se analizan las tres operaciones lógicas básicas de conjunción, disyunción y negación que corresponden,
Respectivamente, a las palabras “y”, “o” y “no” en lenguaje coloquial.
Conjunción, p ∧ q
Dos proposiciones arbitrarias se combinan mediante la palabra “y” para formar una proposición compuesta que seDenomina conjunción de las proposiciones originales. Se escribe así:
p ∧ q
Que se lee “p y q”, denota la conjunción de p y q. Puesto que p ∧ q es una proposición, tiene un valor de verdad, que
Depende sólo de los valores de verdad de p y q. En específico:
Definición 4.1: Si p y q son verdaderas, entonces p ∧ q es verdadera; en otro caso, p ∧ q es falsa.
El valor de verdad de p ∧ q tiene una formaequivalente de definición mediante la tabla 4-1a). Ahí, la primera línea
Es una forma abreviada de decir que si p es verdadera y q es verdadera, entonces p ∧ q es verdadera. La segunda
Línea establece que si p es verdadera y q es falsa, entonces p ∧ q es falsa. Y así en las sucesivas. Observe que hay
Cuatro líneas correspondientes a las cuatro combinaciones posibles de V y F para las dossubproposiciones p y q.
También que p ∧ q es verdadera sólo cuando ambas son verdaderas.
Disyunción, p ∨ q
Dos proposiciones arbitrarias se combinan mediante el conectivo “o” para formar una proposición compuesta denominada
Disyunción de las proposiciones originales. Se escribe así,
p ∨ q
Que se lee “p o q”, denota la disyunción de p y q. El valor de verdad de p ∨ q sólo depende de los valores de verdad de
p y...