Matemáticas. factorización

Apuntes y Problemas de Matemáticas Especiales

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Temas 1 y 2: Números enteros, racionales y reales
Divisibilidad, factorización, mínimo común múltiplo, máximo común divisor, operaciones algebraicas, intervalos, ecuaciones e inecuaciones, potencias, ecuaciones de segundo grado, logaritmos, ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Números
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Tipos de números Naturales (N):1, 2, 3, 4, 5, 6... Enteros (Z): todos los naturales, y además, los del tipo 4, 0, 7...
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Racionales (Q): todos los naturales y enteros, y además, los del tipo

Reales (R): todos los naturales, enteros y racionales, y además, los del tipo 3.3..., 2, ... (los dos últimos se llaman irracionales: tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente y no puedenconvertirse en una fracción; en cambio, el 3.3 es equivalente a la fracción 10 , y por eso se dice 3 que es racional). Números primos
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Son aquellos que sólo son divisibles (es decir, la división da un número entero) por sí mismos y por 1. Por ejemplo, 5 es primo, porque sólo es divisible por 5 y por 1, pero 6 no lo es, pues es divisible, además de por 6 y por 1, por 2 y por 3. Factorización enprimos

Llamaremos así a la operación de descomponer un número como producto de factores primos. Para hacerlo, se empieza tratando de dividir el número por 2; si da un resultado entero, se divide de nuevo por 2, y así hasta que sea posible; luego se trata de dividir por 3 todas las veces posibles, luego por 5, 7, 11, 13, 17... (en general, por todos los primos). Al final, si el número no esdivisible por nada más (es decir, es primo), lo dividiremos por sí mismo. Como ejemplo factorizaremos el número 5544; el resultado es 2 3 3 2 7 11, donde expresamos con las potencias el número de veces que aparece cada factor en la factorización (así, el 2 aparece tres veces) Máximo común divisor (mcd) y mínimo común múltiplo (mcm)
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Para hallar el mcd de dos números los factorizaremos, y luegomultiplicaremos los factores comunes elevados al menor exponente que tengan. Para hallar el mcm de dos números los factorizaremos, y luego multiplicaremos los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.. Ejemplo 1. Calcular el mcd y el mcm de los números: 3153150 y 3900. Primero los factorizamos: 2
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El mcd en este caso es el número más alto que existe que es divisor al mismotiempo de 3153150 y 3900 (cuando decimos que es divisor se debe entender, evidentemente, que la división da un número entero); ese número es 1950. Y el mcm es el número más pequeño que es múltiplo al mismo tiempo de 3153150 y 3900 , siendo ese número 6306300 (compruébese que es divisible por 3153150 y 3900). Operaciones con enteros
£ £

Se llama valor absoluto de un número al valor de esenúmero con signo positivo, independientemente del que tuviera. El valor absoluto se expresa entre barras. Así, el valor absoluto de 3 se expresa | 3| y es 3. También es cierto que | 5| 5.
¨ 

¨

¦

¦

¦

¦

¦



mcm 3153150, 3900
©

22

32

52

72

¨

¦

¦



mcd 3153150, 3900
©

3

5

2

13

1950 11 13 6306300

¦

¦

¦

¨

¦

¦

¦

¦¦

¨

3153150

2

32

52

72

11

13

3900

22

£

£

1 3

,

31 7

,

4 9

,

5 81

...

3

52

13

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En adelante, considérese sumar y restar como la misma operación: restar dos números es lo mismo que sumar al primero el negativo del segundo. Por ejemplo: 5 3 5 3 Para sumar dos enteros con el mismo signo se suman susvalores absolutos y se deja el mismo signo; para sumar dos enteros con distinto signo, se resta el valor absoluto del mayor menos el del menor y se deja el signo del mayor: 5
               

Para facilitar las sumas (o restas) hágase uso, si es necesario, de propiedades de los números como la conmutativa (el orden no importa) o asociativa (al sumar tres números se pueden sumar...