Matemáticas Financieras:

Matemáticas Financieras:

El interés es la compensación que un deudor de capital paga al prestamista de dicho capital para compensar la perdida de uso del mismo durante el tiempo de la deuda.
Definición: La cantidad inicial de dinero para ser invertido es llamado principal; la cantidad recibida después de un periodo de tiempo a una tasa de interés es llamada valor acumulado.
Ejemplo:Principal -> $10000
3 años <- Plazo
Valor acumulado -> $11300

Intereses = Valor acumulado- Principal
Interés =$1300
A(t)
A(t)
Sea b la fecha de inversión llamaremos a(t) la función de acumulación para un principal de $1:

+a(0)=1
Tiempo
Tiempo
+a(t)=Monto no decreciente
(constante y/o creciente)

A(t)
A(t)

Sea a(t) la función de acumulación para un principal dek>0
Tiempo
Tiempo
A(t)=k a(t)
A(0)=k

Los intereses generados durante el n-esimo periodo son:

In=A(n)-A(n-1)

V.A. al final del periodo V.A. al inicio del periodo

Definicion: Una tasa de interés es efectiva si es la división de la cantidad de interés generado durante el periodo entre la cantidad del dinero al inicio del periodo:
*in=In/A(n-1)

Principal =100 1 periodoV.A. = 104.5
*in=(104.5-100)/100= 4.5%

Interés Simple:
Es aquel en que una unidad invertida genera una cantidad de interes constante cada periodo.
Periodo | A(t) |
0 | 1 |
1 | 1+i |
2 | 1+i+i=1+2i |
3 | 1+3i |
… | … |
t | 1+ti |
| |
A(t)=1+ti -- Funcion simple de interés
A(t)=k(1+it) k>0
Ejemplo:
¿cuanto es el valor acumulado de un principal de $1000 invertidodurante 5 años a una tasa de interes del 7% annual?
A(5)= $1000*1.35= $1350
¿Cuál es la tasa de interés simple anual a la que se deben invertir $400 para que se conviertan en $600 despues de 3 años?
600=400+1200i i= 200/1200 = 1/6 Aproximadamente el 16.66%
Ejemplo:
La siguiente tabla fue construida utilizando interés simple. Determine laa tasa de interés efectiva por cada periodo.
I1
I10 | 1000 |
1 | I2
I2
1050 |
I3
I3
2 | 1100 |
3 | 1158 |
*in= A(n)-A(n-1)/A(n-1)
*i1= A(n)-A(n-1)/A(n-1)=(1050-1000)/1000=5%
*i2= 1100-1050 / 1050 = 1/21
*i3= 1158-1100 / 1100 = 24/550

Ejemplo 2:
¿Cuánto tiempo debe de pasar para que una inversión se duplique utilizando una tasa del 4% de interés simple?
A(0)=k i=4% t=? A(t)=2k
A(t)= k (1+it) 2k=k(1+it) 2=1+.04t 1=.04tt=25
Respuesta: Tardaria 25 periodos

Ejemplo 3:
Una persona va al banco para depositar una cantidad k de dinero en un fondo de inversion que paga una tasa de interes simple I por period, antes de hacerlo alguien se le acerca y le menciona que entre mas tiempo pase menor sera la tasa efectiva por periodo. ¿ Es cierto esto?
*in= A(n)-A(n-1)/A(n-1)
A(n)=k(1+it) = k(1+i(n-1) t=n-1
*in=k(1+in))- k(1+i(n-1) / k(1+i(n-1) Se simplifica y se elimina k
*in=(1+in))- (1+i(n-1) / (1+i(n-1)
*in= (1+in- 1 – in + i) / (1 +in – i)
*in= i/(1+(n-1)I Respuesta: Si n crece entonces in se hace mas pequeño; por lo tanto es cierta la afirmacion realizada.

Ejemplo 4:
Grafique A (t) para un interés simple del 3% mensual
A (t)= 1+it
A (0)=1 A(5)= 1+(5*0.03)=

Interes Compuesto = A (t)= k(1+i)t

Ejemplo :
¿Durante cuanto tiempo se deben invertir 150 para obtener 300 a una tasa de interés compuesto del 5%?
A (0)=150 A (t)=300 i=5% t=?
300= 150 (1+.05)t t= ln(2) / ln(1.05)

Ejemplo:
Una cuenta paga el 8% de interés compuesto anual. Si en el año 5 se tienen 1200 ¿Cuánto se tenia en el año 2?
A (5)=1200 i=.08 t=5 k=?
1200= k (1+.08)5 K=1200/1.4694 k=816.70
A (2)= 816.70(1.08)2 = 952.60
Respuesta: En el año 2 se tiene la cantidad de 952.60.

Ejemplos del 14/09/12
Si la tasa de interés de un fondo es 4.5% anual y el fondo vale 10320 en el año 8.
Determine A (5), A (10); Para el interés simple y compuesto.
Para interés simple
A (t)=k(1+it) A (8)=k(1+.045*8) A (8)= 10320 k=10320/1.36=7588.23
A (5)= 9295.58 A (10)= 11002.93

Para interés compuesto
A (t)=...