Matemáticas.Pepe Aranda(UCM)

1. Preliminares
1.1. Conjuntos. Lenguaje matemático
El significado de conjunto es intuitivo: una clase o colección de objetos (elementos) tal que
se pueda distinguir perfectamente si un elemento pertenece o no al conjunto. Los conjuntos
se precisan a veces enunciando una propiedad común a sus elementos y sólo a ellos y otras
enumerando esos elementos (entre llaves). Por ejemplo, podemosdescribir de estas tres formas:
V ≡ {x : x es una vocal del alfabeto latino} = { a , e , i , o , u } = { i , a , o , e , e , u , o , e }
‘ ≡’ se usa a menudo en matemáticas para definir; ‘ : ’ (y también ‘ / ’) se lee ‘tal que’ o ‘tales que’;
otro par de símbolos matemáticos que aparecerán constantemente son ∀ (para todo) y ∃ (existe) .

Que un elemento pertenece a un conjunto se representa conel símbolo ∈ y que no pertenece
con el ∈
/ . Así, por ejemplo, u∈V y ñ∈V
/ .
Dados dos conjuntos A y B se dice que A está contenido en B o que A es subconjunto de
B (y se representa por A ⊂ B ó B ⊃ A ), si todo elemento de A está también en B . Según esto,
V ⊂ E ≡ {letras de la palabra ‘enunciado’} = { a , e , i , o , u , c , d , n } ,
pero no está contenido ( V ⊂ O ) en O ≡ {letras de‘ornitorrinco’} .
[Que conste que todo conjunto está contenido en sí mismo: A ⊂ A ].

Unión de A y B es el conjunto A∪B = {x : x ∈ A ó x ∈ B} (formado por todos los elementos
de A y B , comunes o no) y su intersección A∩B = {x : x ∈ A y x ∈ B} (elementos comunes a
ambos). Análogamente se definen unión e intersección de más de dos conjuntos. La diferencia
de conjuntos B−A (o bien B\A ) la forman loselementos de B que no están en A . Por ejemplo:
V ∪E = E , V ∩E = V , V ∪O = { n , e , u , r , o , t , i , c , a } ,
V ∩O = { i , o } , E −V = {c , d , n} .
Muchas veces se representan los conjuntos utilizando ‘diagramas
de Venn’, recintos cerrados cuyos elementos son indicados por
puntos. A la derecha están esquematizados V , O , V ∪O y V ∩O .
Observemos que el significado de ‘o’ enmatemáticas (que a veces se representa por ‘∨’; en vez
de ‘y’ se puede poner ‘∧’) siempre tiene un significado no excluyente como en la definición de
∪ . Si se quiere utilizar un ‘o’ excluyente se debe escribir ‘o bien ... o bien ...’.

Se llama conjunto vacío ∅ al que no tiene nigún elemento. Si A∩B = ∅ , es decir, si no hay
elementos comunes a A y B se dice que A y B son disjuntos, como lo son V yD ≡ {0, 1} .
El producto A×B de dos conjuntos A y B está constituído por todos los posibles pares
ordenados (a, b) que se pueden formar con un primer elemento de A y otro segundo de B :
A × B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B
No es lo mismo el par ordenado (a, b) , en general
distinto de (b, a) , que el conjunto {a, b} = {b, a} .
V ×D = (a, 0), (e, 0), (i, 0), (o, 0), (u, 0), (a, 1), (e, 1), (i, 1),(o, 1), (u, 1) .

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Una función f entre A y B es una regla que asigna a cada elemento a∈A f : A → B
a → b = f (a)
un único elemento b= f (a)∈B (imagen de a por f ). Algunas veces (otras
no) las funciones se pueden describir con palabras o fórmulas, pero es claro que f queda fijada
si listamos todos los posibles (a, b) , con lo que una definición más teórica (y más precisa) es:
Unafunción f es un conjunto de pares ordenados ⊂ A×B
que no contiene dos distintos con el mismo primer elemento.
Por ejemplo, g ≡ (a, 0), (a, 1), (e, 1), (i, 1), (o, 1), (u, 1) no es función de V en D ,
pero sí lo es h≡ (a, 1), (e, 1), (i, 0), (o, 1), (u, 0)

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fuerte

g(v)= 0 si la vocal v es débil .

Sí es función de D en V : k ≡ (0, o), (1, i) .

f se dice inyectiva si no hay elementosdistintos de A que tengan la misma imagen.
f es sobreyectiva (o suprayectiva) si cada elemento de B es imagen de algún elemento de A .
f es biyectiva (o es una biyección) si es a la vez inyectiva y sobreyectiva, o lo que es lo mismo,
si a cada elemento a ∈ A le corresponde un único elemento b ∈ B y viceversa.
Si f es biyectiva, existe su función inversa f −1 que hace corresponder a
f −1 :...