Matemáticas I

Matemáticas I
NOMBRE: Jhon Paúl Navarro Pullaguari
Inecuaciones cuadráticas
Una inecuación cuadrática es aquella que puede ser reducida a un predicado definido en el conjunto de los números reales, mediante una de las siguientes formas:

1. p(x): + bx + c > 0
2. p(x): + bx + c < 0
3. p(x): + bx + c ≥ 0
4. p(x): + bx + c ≤ 0

Donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar.
Se puedenencontrar las soluciones de una inecuación cuadrática mediante factorización o mediante la fórmula general.
Ejemplo:













Inecuaciones Fraccionarias
Las inecuaciones racionales o fraccionarias se resuelven mediante el mismo método que las de segundo grado, esto es, haciendo el análisis de signos de cada uno de sus factores a partir de sus raíces.
Ejemplo:












Inecuaciones con ValorAbsoluto
Para resolver este tipo de inecuaciones se pueden aplicar propiedades directas del valor absoluto, las cuales se deducen a continuación.

Considere los siguientes predicados:



Ejemplo:









Aplicaciones de inecuaciones
La solución de inecuaciones y desigualdades es una herramienta muy utilizada en cálculo para determinar el dominio de una función, intervalos de crecimiento ydecrecimiento, concavidad, entre otros.
La resolución de una inecuación involucra la aplicación de las propiedades de los números reales y es recomendable interpretar las soluciones de las inecuaciones, las cuales usualmente corresponden a un intervalo.

Dominio de una Relación

Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto A que establecen correspondenciaconstituyen el dominio de la relación. Se representa simbólicamente por: dom R.

No necesariamente todos los elementos del conjunto de partida forman parte del dominio de una relación.

Rango de una relación

Dada una relación R, construida a partir de los conjuntos A y B, los elementos del conjunto B que se relacionan con elementos del dominio de R constituyen el rango de la relación. Serepresenta simbólicamente por: rg R.

No necesariamente todos los elementos del conjunto de llegada forman parte del rango de una relación.

Ejemplo: Dominio Y Rango de una relación.

A = {2, 4, 5}
B = {1, 3, 5}
R = {(x, y)/x+y es un número primo}

R = {(2,1), (2,3), (2,5), (4,1), (4,3)}
dom R = {2, 4}
rg R = {1, 3, 5}

Una relación puede ser representada mediante el uso de planos cartesianos o diagramassagitales.

Ejemplo 2: Representación sagital de una relación.

A = {0, 2, 4, 6}
B = {1, 3, 5}
R = {(x, y)/x>y}
R = {(2,1), (4,1), (4,3), (6,1), (6,3), (6,5)}











Podemos observar que dom R = {2, 4, 6} y rg R = {1, 3, 5}.

Ejemplo 3: Relaciones:

Sean A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {(0,0), (3,1), (4,2), (6,3), (8,4)} y R la relación de A en B definida por:

R = {(a, (b, c))/a = b+c ∧ (a∈ A) ∧ ((b, c)∈ B)}

Establezca los elementos de R.
Solución:
Partiendo de la condición:
a = b + c

Funciones Tipos De Funciones

Las funciones presentan diversas características, las cuales deben ser tipificadas para posteriores análisis. Estas características dependen de la cardinalidad de los conjuntos de partida y de llegada, así como de la relación que se establezca entre ellos.
Deacuerdo a las características de las funciones, es posible realizar diferentes representaciones gráficas.

Función Inyectiva

f : A→B es inyectiva ⇔ {∀x1, x2 ∈ A [¬(x1 = x2)⇒¬( f (x1) = f (x2))]}
f es inyectiva si cada elemento del rango es imagen exclusiva de un único elemento del dominio.
Es necesario que N (A) ≤ N (B) para poder construir funciones inyectivas.

Ejemplo:

A = {2, 4, 5}
B = {8,64, 125, 216}

f : A→B, “y es el cubo de x”
f = {(2, 8), (4, 64), (5, 125)}









Si f es inyectiva, podemos regresar de f(x) a x por un solo camino, con lo cual se garantiza que, dado un elemento del rango de f, se puede encontrar un solo elemento de su dominio que le corresponda.

Función Sobreyectiva

f : A→B es sobreyectiva ⇔ {∀y ∈B ∃x ∈A[y = f (x)]}
f es sobreyectiva si rg f = B.
Es...