Matemáticas V

Prólogo
Las notas a continuación, no pretenden ser sustituto de los textos recomendados por el Departamento de Matemáticas para el curso de MA-2112; el único fin de las mismas, es el de ayudar al
estudiante a entender mejor la materia, tratando de simplificar su enseñanza. El texto se divide en
15 capítulos, en cada uno de ellos se hace un resumen de la teoría correspondiente, lo cual servirácomo una guía de repaso a los contenidos teóricos.
Se presentan ejercicios resueltos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores o por preparadores del Dpto. de Matemáticas, también hay ejercicios tomados
de exámenes de MA-2112.
He tratado de ser lo más didáctico posible y espero prestar un apoyo a la enseñanza de las
Matemáticas Generales. Probablemente seencontraran algunos errores, agradezco las observaciones y sugerencias que puedan hacerme (éstas pueden ser enviadas a mi casillero en el Dpto. de
Matemáticas).
Finalmente, deseo agradecer al Prof. Luis Mata, por su entusiasmo y ayuda, al equipo de
preparadores que colaboró en la corrección y redacción final de las notas: Aryelly Rodríguez y
Yolanda Perdomo y en especial a Mónica Salvioli yGerardo Martínez, quienes además dedicaron
bastante de su tiempo en la elaboración del material impreso, y al Licenciado José Infante y la
Bachiller Verónica Mata, quienes se ocuparon de los dibujos.

Rafael Jacinto Morales Bueno.
Sartenejas, 1998

A
Esta documentación fue realizada en L TEX.

Nota:
Segunda Edición Corregida y Aumentada (Abril 1997).
Tercera Edición Corregida y Aumentada(Septiembre 1998).

i

ii

Índice General
I Cálculo Diferencial

i

1

Gráficas
1.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
1

2

Abiertos, cerrados, frontera. Límites y continuidad
13
2.1 Definiciones yConceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3

Derivadas parciales y diferenciabilidad
25
3.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4

Regla de la cadena
37
4.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5

Derivada direccional y plano tangente
45
5.1 Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6

Derivadas parciales superiores y derivación implícita
53
6.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 55

7

Teorema de Taylor de orden 2
65
7.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

8

Puntos críticos y multiplicadores de Lagrange
69
8.1 Definiciones y Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 69
8.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

9

Autoevaluación
87
9.1 Examen de autoevaluación 1: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.2 Examen de autoevaluación 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
iii

ÍNDICE GENERAL

II Cálculo Integral...