Matemáticas

6
Página 153

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

REFLEXIONA Y RESUELVE Puntos alineados en el plano
■

Comprueba que los puntos A (5, 2), B (8, 3) y C (13, 5) no están alineados.

C (13, 5) B (8, 3) A (5, 2)

AB = (3, 1); BC = (5, 2) No tienen las coordenadas proporcionales; luego no están alineados.

8

8

■

Halla el valor de n para que el punto D (9, n) esté alineadocon los puntos A y B del gráfico anterior. AB = (3, 1); BD = (1, n – 3) AB = k · BD 8 (3, 1) = k (1, n – 3) 8 8 k=3 1 10 ° 8 n= ¢ 8 1 = 3(n – 3) 8 n – 3 = 3 3 1 = k (n – 3) £
8 8 8 8

Unidad 6. Puntos, rectas y planos en el espacio

1

Rectas en el plano
■

Para hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que aparece a continua8 8 ción, toma el vector p (1, 4) para situarte en ella yel vector d (5, 2) para deslizarte por ella. Halla también su ecuación implícita.

s (5, 2)

r

(1, 4)

Ecuaciones paramétricas: ° x = 1 + 5l ¢ £ y = 4 + 2l

Ecuación implícita: –2x = –2 – 10l 5y = 20 + 10l –2x + 5y = 18 8 2x – 5y + 18 = 0

■

Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de la recta s. La recta s pasa por el punto (–1, 0) y tiene la dirección del vector d (1, –1).Ecuaciones paramétricas: ° x = –1 + l ¢ £ y = –l Ecuación implícita: Sumando las dos anteriores: x + y = –1 8 x + y + 1 = 0
8

Página 154
1. Representa los puntos siguientes: P (5, 2, 3), Q (3, –2, 5), R (1, 4, 0), S (0, 0, 4) y T (0, 6, 3). P (5, 2, 3) Q (3, –2, 5) R (1, 4, 0) S (0, 0, 4) T (0, 6, 3)
X P R Y Q Z S T

2

Unidad 6. Puntos, rectas y planos en el espacio

UNIDAD

62. Sitúa sobre unos ejes coordenados un punto P. Proyéctalo, P', sobre el plano XY. Sigue el proceso hasta determinar las coordenadas de P. (Observa que el único paso no determinado es decidir la situación de P' ). P (3, 5, 2)

Z

P Y

P' X

Página 156
1. Calcula m y n para que los puntos P (7, –1, m), Q (8, 6, 3) y R (10, n, 9) estén alineados. PQ (1, 7, 3 – m ), QR = (2, n – 6, 6) P, Q,R están alineados 8 PQ // QR 8 n–6 = 2 8 n = 20 7 Luego m = 0 y n = 20. 2. Halla las coordenadas de los puntos medios de los lados del triángulo de vértices A (1, –3, 5), B (0, 7, 2) y C (–1, 5, 6).
A(1, –3, 5) B' C' C (–1, 5, 6)
8 8 8 8

2 n–6 6 = = 1 7 3–m

6 =2 8 m=0 3–m

C' =

( ( (

1 + 0 –3 + 7 5 + 2 1 7 , , = , 2, 2 2 2 2 2 0–1 7+5 2+6 1 , , = – , 6, 4 2 2 2 2

) (

) )A' =

) (

)

A' B (0, 7, 2)

B' =

1 – 1 –3 + 5 5 + 6 11 , , = 0, 1, 2 2 2 2

) (

3. Dados los puntos A (–3, 5, 11) y B (3, 5, –1): a) Halla el punto medio del segmento AB. b) Halla el simétrico de B respecto de A. — — c) Obtén un punto M de AB tal que AM = 2MB . — — d) Obtén un punto N de AB tal que NB = 3AN. a)
M A B

MAB =

(

–3 + 3 5 + 5 11 – 1 , , = (0, 5, 5) 2 2 2)

Unidad 6. Puntos, rectas y planos en el espacio

3

b) Sea B' (a, b, g) el simétrico de B respecto de A. Así:
B(a, b, g) A (–3, 5, 11) B (3, 5, –1)

3+a — = –3 8 a = –9 2 5+b —=5 8 b=5 2 –1 + g — = 11 8 g = 23 2 c) Sea M (x, y, z):

° § § § § ¢ B' (–9, 5, 23) § § § § £

M A(–3, 5, 11) B(3, 5, –1)

(x + 3, y – 5, z – 11) = 2(3 – x, 5 – y, –1 – z) 8 x + 3 = 6 – 2x 8 y – 5 = 10 –2y z – 11 = –2 – 2z d) Sea N (x, y, z):
N A(–3, 5, 11) B(3, 5, –1)

° § ¢ 8 x = 1, y = 5, z = 3 8 M (1, 5, 3) § £

(3 – x, 5 – y, – 1 – z) = 3(x + 3, y – 5, z – 11) 8 3 – x = 3x + 9 8 5 – y = 3y – 15 –1 – z = 3z – 33 ° § –3 –3 , y = 5, z = 8 8 N , 5, 8 ¢ 8 x= 2 2 § £

(

)

Página 157
1. Halla las ecuaciones paramétricas de las rectas que pasan por: a) A (2, 0, 5) y B (–1, 4, 6) b) M(5, 1, 7) y N (9, –3, –1) c) P (1, 0, –3) y Q (1, 4, –3) d) R (0, 2, 3) y S (0, 2, 1) a) Vector dirección: AB = (–3, 4, 1) ° x = 2 – 3l § Ecuaciones paramétricas: ¢ y = 4l § £z = 5 + l
Unidad 6. Puntos, rectas y planos en el espacio
8

4

UNIDAD
8

6

b) Vector dirección: MN = (4, –4, –8) // (1, –1, –2) °x = 5 + l § Ecuaciones paramétricas: ¢ y = 1 – l § £z = 7 – 2 l c) Vector...