Matemáticas

Escuela Superior Técnica
Álgebra y Geometría Analítica
Examen Final – 06/07/2010

RESOLUCIÓN


1. a) Sean u y v vectores de tales que . Pruebe que u y v son perpendiculares.
Rta:

SiNota: Puede utilizar las componentes de los vectores u y v para probarlo.

b) Represente en el plano complejo el conjunto S={}El conjunto solución es la intersección entre la parte ¨gris¨ y la ¨celeste¨.
La corona circular de radios 1 y 2 tiene centro en(0,1), NO (0,0)



2. Sean el plano y la recta
Proponga, si es posible,
a) un vector de forma tal que .
b) un vector de forma tal que
c) un vector de forma tal que larecta esté contenida en el plano.
Si en algún caso no es posible, justifique por qué.

Rta:
El vector (1,2,-1) es perpendicular al plano, y el vector es paralelo a la recta.
a)Si , entonces (1,2,-1) y son colineales, es decir: =k(1,2,-1) , con k≠0. Hay infinitas
soluciones. Una solución posible es =(1,2,-1)
b) Si , entonces la recta es paralela al plano. Losvectores y (1,2,-1) son perpendiculares.
Por lo tanto, . Hay infinitas soluciones. Una solución posible es =(1,0,1)
c) el punto (1,0,-1) pertenece a la recta, pero no pertenece al plano,pues no satisface la ecuación del plano.
No es posible hallar tal que la recta esté contenida en el plano.

3. Sea
a) Calcule , siendo k un número real y halle para qué valores de k esno inversible.
Rta: desarrollando el determinante por la tercer fila:


es no inversible si y sólo si


b) Halle todas las soluciones del sistema ,siendo , e interprete elconjunto solución
geométricamente.
Rta:
, entonces Sistema lineal homogéneo.
. Se obtiene el sistema equivalente

Conjunto...