Matemáticas

UNIDAD 2
Actividades de final de unidad
Ejercicios básicos
1. La frecuencia del sonido que se obtiene con un diapasón es 440 Hz. Si la velocidad del sonido en el aire es 340 m s–1,
calcula la longitud de onda correspondiente a esta frecuencia.
La relación entre la frecuencia (ƒ ), la longitud de londa (␭) y la velocidad de propagación es vp = ␭ƒ;
por tanto,
v
340 m s–1
␭= p =
= 0,773 mƒ
440 s–1
2. La ecuación de una onda es, expresada en unidades del SI: y = 8 sin π (6x – 0,5t). Establece:
a) La frecuencia.
b) La longitud de onda.
c) La amplitud.
d) La ecuación de una onda igual pero que se propaga en sentido opuesto.
Si se compara la ecuación de la onda con la general de las ondas armónicas se identifican algunas magnitudes que la describen:
y = A sin (k x – ␻t) = 8sin π (6 x – 0,5 t)

␻ = 0,5π rad s–1;

A = 8 m;

92

k = 6π rad m–1

A partir de su definición se establece el valor de las magnitudes solicitadas:
0,5π rad s–1
1
␻
=
=
Hz
a) ␻ = 2π ƒ → ƒ =
2π rad
4
2π
2π
2π
2π rad
1
=
=
m
→ ␭=
–1
␭
k
6π rad m
3
c) A = 8 m
b) k =

d) El signo de la expresión de la fase informa del sentido de propagación; por tanto, la ecuaciónpedida es:
y = 8 sin π (6 x + 0,5 t )
3. Una onda está representada por la ecuación:
y = 10 sin 2π (500 t – 0,5 x)
(x e y en metros; t, en segundos). Calcula la longitud de onda y la velocidad de propagación.
Teniendo en cuenta la ecuación general de las ondas armónicas:
Y (x, t ) = A sin

2π

(T

2π
= 0,5 · 2π ⇒ ␭ = 2 m;
␭
vp = ␭ · ƒ =

t–

2π
x = 10 sin 2π (500 t – 0,5 x)
␭)

2π
1
= 500 · 2π ⇒ T =
= 2 · 10–3 s = 2 m s
T
500
2m
␭
=
= 1 000 m s–1
2 · 10–3 s
T

4. El extremo libre de un tubo de goma se desplaza periódicamente a un lado y a otro de su posición normal. La
distancia entre las posiciones extremas es de 8 cm y la duración de una oscilación es de 0,50 s. Al cabo de 0,20 s,
la perturbación ha avanzado en el tubo 16 cm. Halla:
a) Laamplitud del movimiento.
b) Su frecuencia.
c) La velocidad de propagación.
d) La longitud de onda.

2 MOVIMIENTO ONDULATORIO

a) Si la distancia entre sus posiciones extremas es 8 cm, la amplitud es: A =
b) La frecuencia es el inverso del periodo: ƒ =

1
1
=
= 2,0 Hz.
T
0,50 s

8
cm = 4 cm.
2

c) Las ondas, en medios homogéneos e isótropos, se propagan con movimiento uniforme; portanto:
vp =

∆x
16 cm
␭
=
=
= 80 cm s–1
∆t
0,20 s
T

d) La longitud de onda es: ␭ = vp T = 80 cm s–1 · 0,50 s = 40 cm.
5. En una cuerda colocada a lo largo del eje X se propaga una onda, determinada por la función:
y (x, t) = 0,02 sin (4 x – 8 t)
donde y y x se expresan en metros y t en segundos. ¿Cuánto tiempo tarda la perturbación en recorrer una distancia de 8 m?
Teniendo encuenta que el movimiento ondulatorio se propaga con velocidad constante, debe calcularse su
velocidad de propagación.
La ecuación de las ondas armónicas es:
y (x, t) = A sin

2π

(␭

x–

2π
t
T

)

Por tanto,

2π
2π
π
2π
2π
π
=
m;
= 8 rad s–1 ⇒ T =
=
s
= 4 rad m–1 ⇒ ␭ =
␭
4
2
T
8
4
A partir de la definición de velocidad de propagación,
π
m
2
␭
=
= 2 m s–1vp =
π
T
s
4
∆x
∆x
8m
Como: vp =
, el tiempo solicitado es: t =
=
= 4 s.
t
vp
2 m s–1
6. En un extremo de una cuerda tensa horizontal de 5,0 m se provoca un movimiento oscilatorio armónico perpendicular a la dirección de la cuerda, cuya elongación es de 8,0 cm cuando han transcurrido 0,10 s desde su
comienzo. Se observa que la onda producida tarda en llegar al otro extremo 2,0 s yque la distancia entre dos
crestas sucesivas es de 1,5 m. Determina: a) la frecuencia y la amplitud del movimiento ondulatorio; b) la velocidad del punto situado a 1,0 m del origen de la onda, al cabo de 0,6 s de iniciado el movimiento ondulatorio.
De los datos del enunciado se deduce:
∆x
5,0 m
␭ = 1,5 m;
vp =
=
= 2,5 m s–1;
y(t = 0,10 s) = 8,0 · 10–2 m
∆t
2,0 s
a) La frecuencia es:...