Matemáticas
Páginas: 16 (3849 palabras)
Publicado: 12 de enero de 2015
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES – 1ª Evaluación
PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
1. ¿Cómo se modifica el índice de un radical?
Se multiplican (o dividen) el índice y el exponente del radicando por un mismo número.
Ejemplos:
4
23 = 20 215
7 = 6 73
6
54 = 3 52
6
8 = 6 23 = 2
2. ¿Cómo se suman o restan radicales?
Sólo se pueden sumar o restar radicales iguales oequivalentes (aquellos que al simplificarse quedan iguales).
Ejemplo:
27 + 5 ⋅ 3 + 4 9 = 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + 3 = 9 ⋅ 3
Ejemplo:
12 + 3 ⋅ 2 + 3 − 8 = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 3 − 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 3 + 2
3. ¿Cómo se multiplican o dividen radicales?
Se ponen todos a índice común y se aplica que el producto de raíces es igual que la raíz de un producto y que el
cociente de raíces es igual que la raíz de un cociente.Ejemplo:
2 ⋅4 3
3
12
=
2 6 ⋅ 12 3 3
12
2
= 12
24
2 6 ⋅ 3 3 12 2 3 12
= 2 ⋅ 3 = 108
24
4. ¿Cómo se racionaliza una fracción?
Se llama racionalizar una fracción al proceso que convierte una fracción que tiene radicales en el denominador
en otra equivalente que no los tiene.
Hay dos procedimientos distintos:
Si el denominador es un único radical, multiplicamos elnumerador y el denominador por el radical adecuado
que sea capaz de simplificar la raíz del denominador. Después operamos el numerador y lo escribimos de la
forma más simplificada que podamos.
Ejemplo:
3
2
2 ⋅ 3 22
2 ⋅ 3 22
2 ⋅ 3 2 2 6 23 ⋅ 6 2 4 6 27 2 ⋅ 6 2 6
=
= 3
=
=
=
=
= 2
2
2
2
2
2 3 2 ⋅ 3 22
23
Si el denominador es una suma o resta que contiene una o dos raícescuadradas, multiplicamos el numerador y
el denominador por la expresión conjugada del denominador (una resta si teníamos una suma o una suma si era
una resta). En el denominador aplicamos diferencia de cuadrados, después operamos el numerador y lo
escribimos de la forma más simplificada que podamos.
Ejemplo:
18
=
5+ 2
(
(
)
18 ⋅ 5 − 2
=
5+ 2 ⋅ 5− 2
)(
90 − 36
) ( 5) − (2)
2
2
=
(
)
3 10 − 6 3 10 − 2
=
= 10 − 2
5−2
3
5. ¿Cómo se resuelve una ecuación polinómica?
Se buscan las raíces por Ruffini, hasta llegar al segundo grado, a partir de ahí, se puede continuar por Ruffini o
aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación de 2º grado.
Ejemplo:
Resuelve: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 = 0
1
1
1
5
1
6
1
-12
1
-11
5
-6
6
041
-11
30
-30
0
-30
30
0
1
Las soluciones son: x = 5
6
Otro procedimiento: Se empieza igual, pero al llegar a 2º grado aplico la fórmula.
Resuelve: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 = 0
1
1
1
-12
1
-11
41
-11
30
-30
30
0
Ahora resuelvo: x 2 − 11x + 30 = 0
11 ± (−11) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 30 5
x=
=
2 ⋅1
6
1
Las soluciones son: x = 5
6
6. ¿Es lomismo factorizar un polinomio que resolver una ecuación polinómica?
En la práctica sí. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación y viceversa.
Ejemplo:
Factoriza: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30
1
Como hemos visto en el ejemplo anterior, las raíces del polinomio son x = 5 por lo que la expresión
6
factorizada es: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 = ( x − 1)( x − 5)( x − 6)Ejemplo:
Halla las soluciones de la ecuación, ya factorizada: x( x + 2)( x − 3) = 0
0
0
Viendo los factores, las raíces del polinomio son: x = − 2 por lo que las soluciones son: x = − 2
3
3
7. ¿Cúales son las identidades notables más importantes?
2
El cuadrado de la suma: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2
El cuadrado de la resta: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
Diferencia decuadrados: (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2
Ejemplos:
(
Desarrolla: x 3 + 3x
(x
3
+ 3x
) = (x )
2
3 2
)
2
2
+ 2 ⋅ x 3 ⋅ 3 x + (3 x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2
Convierte 9 − 6b + b 2 en el cuadrado de una resta.
9 − 6b + b 2 = 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ b + b 2 = (3 − b )
2
Factoriza: 9 x 2 − 4
2
9 x 2 − 4 = (3 x ) − 2 2 = (3 x + 2 )(3 x − 2 )
8. ¿Cómo se opera con...
PREGUNTAS MÁS FRECUENTES
1. ¿Cómo se modifica el índice de un radical?
Se multiplican (o dividen) el índice y el exponente del radicando por un mismo número.
Ejemplos:
4
23 = 20 215
7 = 6 73
6
54 = 3 52
6
8 = 6 23 = 2
2. ¿Cómo se suman o restan radicales?
Sólo se pueden sumar o restar radicales iguales oequivalentes (aquellos que al simplificarse quedan iguales).
Ejemplo:
27 + 5 ⋅ 3 + 4 9 = 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 + 3 = 9 ⋅ 3
Ejemplo:
12 + 3 ⋅ 2 + 3 − 8 = 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 3 − 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 3 + 2
3. ¿Cómo se multiplican o dividen radicales?
Se ponen todos a índice común y se aplica que el producto de raíces es igual que la raíz de un producto y que el
cociente de raíces es igual que la raíz de un cociente.Ejemplo:
2 ⋅4 3
3
12
=
2 6 ⋅ 12 3 3
12
2
= 12
24
2 6 ⋅ 3 3 12 2 3 12
= 2 ⋅ 3 = 108
24
4. ¿Cómo se racionaliza una fracción?
Se llama racionalizar una fracción al proceso que convierte una fracción que tiene radicales en el denominador
en otra equivalente que no los tiene.
Hay dos procedimientos distintos:
Si el denominador es un único radical, multiplicamos elnumerador y el denominador por el radical adecuado
que sea capaz de simplificar la raíz del denominador. Después operamos el numerador y lo escribimos de la
forma más simplificada que podamos.
Ejemplo:
3
2
2 ⋅ 3 22
2 ⋅ 3 22
2 ⋅ 3 2 2 6 23 ⋅ 6 2 4 6 27 2 ⋅ 6 2 6
=
= 3
=
=
=
=
= 2
2
2
2
2
2 3 2 ⋅ 3 22
23
Si el denominador es una suma o resta que contiene una o dos raícescuadradas, multiplicamos el numerador y
el denominador por la expresión conjugada del denominador (una resta si teníamos una suma o una suma si era
una resta). En el denominador aplicamos diferencia de cuadrados, después operamos el numerador y lo
escribimos de la forma más simplificada que podamos.
Ejemplo:
18
=
5+ 2
(
(
)
18 ⋅ 5 − 2
=
5+ 2 ⋅ 5− 2
)(
90 − 36
) ( 5) − (2)
2
2
=
(
)
3 10 − 6 3 10 − 2
=
= 10 − 2
5−2
3
5. ¿Cómo se resuelve una ecuación polinómica?
Se buscan las raíces por Ruffini, hasta llegar al segundo grado, a partir de ahí, se puede continuar por Ruffini o
aplicar la fórmula de las soluciones de la ecuación de 2º grado.
Ejemplo:
Resuelve: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 = 0
1
1
1
5
1
6
1
-12
1
-11
5
-6
6
041
-11
30
-30
0
-30
30
0
1
Las soluciones son: x = 5
6
Otro procedimiento: Se empieza igual, pero al llegar a 2º grado aplico la fórmula.
Resuelve: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 = 0
1
1
1
-12
1
-11
41
-11
30
-30
30
0
Ahora resuelvo: x 2 − 11x + 30 = 0
11 ± (−11) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 30 5
x=
=
2 ⋅1
6
1
Las soluciones son: x = 5
6
6. ¿Es lomismo factorizar un polinomio que resolver una ecuación polinómica?
En la práctica sí. Las raíces de un polinomio son las soluciones de la ecuación y viceversa.
Ejemplo:
Factoriza: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30
1
Como hemos visto en el ejemplo anterior, las raíces del polinomio son x = 5 por lo que la expresión
6
factorizada es: x 3 − 12 x 2 + 41x − 30 = ( x − 1)( x − 5)( x − 6)Ejemplo:
Halla las soluciones de la ecuación, ya factorizada: x( x + 2)( x − 3) = 0
0
0
Viendo los factores, las raíces del polinomio son: x = − 2 por lo que las soluciones son: x = − 2
3
3
7. ¿Cúales son las identidades notables más importantes?
2
El cuadrado de la suma: (a + b ) = a 2 + 2ab + b 2
2
El cuadrado de la resta: (a − b ) = a 2 − 2ab + b 2
Diferencia decuadrados: (a + b ) ⋅ (a − b ) = a 2 − b 2
Ejemplos:
(
Desarrolla: x 3 + 3x
(x
3
+ 3x
) = (x )
2
3 2
)
2
2
+ 2 ⋅ x 3 ⋅ 3 x + (3 x ) = x 6 + 6 x 4 + 9 x 2
Convierte 9 − 6b + b 2 en el cuadrado de una resta.
9 − 6b + b 2 = 3 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ b + b 2 = (3 − b )
2
Factoriza: 9 x 2 − 4
2
9 x 2 − 4 = (3 x ) − 2 2 = (3 x + 2 )(3 x − 2 )
8. ¿Cómo se opera con...
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