Matemáticas
Páginas: 14 (3376 palabras)
Publicado: 20 de enero de 2013
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Algunos problemas pueden resolverse empleando sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Muchas veces se pueden resolver utilizando una sola ecuación con una incógnita, pero el planteamiento de dicha ecuación es mas complicado que plantear un sistema de los que estamos estudiando. Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos: 1. Elegir lasincógnitas x e y que siempre coinciden con lo que nos preguntan en el problema. 2. Plantear dos ecuaciones traduciendo el problema al lenguaje algebraico 3. Resolver el sistema. Por último conviene siempre comprobar que la solución es correcta o al menos que tiene sentido. Hay una serie de “problemas tipo” que se resuelven fácilmente y el planteamiento de las ecuaciones siempre es igual. Perotambién hay problemas para los que el planteamiento de las ecuaciones es más complicado. Lee el enunciado las veces que haga falta hasta que comprendas las dos ecuaciones que hay que plantear.
PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?. Resolución Este problema es un problema tipo queaparece muchas veces variando el enunciado.
1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿Cuántos coches y cuántas motos hay?” x = número de coches y = número de motos 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación Como hay 55 vehículos en total x + y = 55 2ª Ecuación Hay 170 ruedas entre todos los vehículos. Un coche tiene 4 ruedas luego x coches tendrán 4xruedas. Una moto tiene 2 ruedas luego y motos tendrán 2y ruedas. En definitiva la ecuación que da el total de ruedas es: 4x +2y = 170 (ATENCIÓN: No se debe mezclar el número de ruedas con el número de vehículos.) El sistema es el siguiente:
x y 55 ® ¯4 x 2 y 170 3. Paso. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por reducción. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientesopuestos multiplico la primera ecuación por (-4) 4 x 4 y 220 ® ¯ 4 x 2 y 170 3º Sumando las dos ecuaciones + -4x - 4y = -220 4x + 2y = 170 -2y = -50 x + 25 = 55 x = 30
y = 25
4º Se sustituye en una ecuación
Solución ( x = 30 , y = 25) Ahora se comprueba que es correcta la solución: 1º Entre todos los vehículos suman 55. Efectivamente 30+25 =55 2º El número de ruedas es 170. Efectivamente30 · 4 + 2 · 25 = 120 + 50 = 170.
2. Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros. Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras?
Este problema es un problema tipo que aparece muchas veces variando el enunciado. 1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿A cómo está el kilo de peras yel de plátanos?” x = precio del kg de plátanos y = precio del kg de peras 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros 2ª Ecuación Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros El sistema es el siguiente:
2x + 3y = 7,80
5x + 4y = 13,20
2 x 3 y 7,80 ® ¯5 x 4 y 13,20 3. Paso. Resolver el sistema. Loresuelvo por ejemplo por reducción. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por -5 y la segunda por 2 10 x 15 y 39 ® ¯ 10 x 8 y 26,4 3º Sumando las dos ecuaciones + -10x - 15y = -39 10x + 8y = 26,4 -7y = -12,6 2x +3·1,8 = 7,80 2x = 7,80 – 5,4
y = 1,8
4º Se sustituye en una ecuación
x = 1,2
Solución ( x = 1,2 , y = 1,8) Ahorase comprueba que es correcta la solución:
Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros 2·1,2 + 3·1,8 = 2,4 + 5,4 = 7,8 Bien Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros 5·1,2 + 4·1,8 = 6 + 7,2 = 13,20 Bien
3. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 14 cabezas y 38 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral? Resolución. Este problema...
Algunos problemas pueden resolverse empleando sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Muchas veces se pueden resolver utilizando una sola ecuación con una incógnita, pero el planteamiento de dicha ecuación es mas complicado que plantear un sistema de los que estamos estudiando. Para resolver estos problemas podemos seguir tres pasos: 1. Elegir lasincógnitas x e y que siempre coinciden con lo que nos preguntan en el problema. 2. Plantear dos ecuaciones traduciendo el problema al lenguaje algebraico 3. Resolver el sistema. Por último conviene siempre comprobar que la solución es correcta o al menos que tiene sentido. Hay una serie de “problemas tipo” que se resuelven fácilmente y el planteamiento de las ecuaciones siempre es igual. Perotambién hay problemas para los que el planteamiento de las ecuaciones es más complicado. Lee el enunciado las veces que haga falta hasta que comprendas las dos ecuaciones que hay que plantear.
PROBLEMAS RESUELTOS 1. En un aparcamiento hay 55 vehículos entre coches y motos. Si el total de ruedas es de 170. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay?. Resolución Este problema es un problema tipo queaparece muchas veces variando el enunciado.
1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿Cuántos coches y cuántas motos hay?” x = número de coches y = número de motos 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación Como hay 55 vehículos en total x + y = 55 2ª Ecuación Hay 170 ruedas entre todos los vehículos. Un coche tiene 4 ruedas luego x coches tendrán 4xruedas. Una moto tiene 2 ruedas luego y motos tendrán 2y ruedas. En definitiva la ecuación que da el total de ruedas es: 4x +2y = 170 (ATENCIÓN: No se debe mezclar el número de ruedas con el número de vehículos.) El sistema es el siguiente:
x y 55 ® ¯4 x 2 y 170 3. Paso. Resolver el sistema. Lo resuelvo por ejemplo por reducción. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientesopuestos multiplico la primera ecuación por (-4) 4 x 4 y 220 ® ¯ 4 x 2 y 170 3º Sumando las dos ecuaciones + -4x - 4y = -220 4x + 2y = 170 -2y = -50 x + 25 = 55 x = 30
y = 25
4º Se sustituye en una ecuación
Solución ( x = 30 , y = 25) Ahora se comprueba que es correcta la solución: 1º Entre todos los vehículos suman 55. Efectivamente 30+25 =55 2º El número de ruedas es 170. Efectivamente30 · 4 + 2 · 25 = 120 + 50 = 170.
2. Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros. Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras?
Este problema es un problema tipo que aparece muchas veces variando el enunciado. 1. Paso. Se eligen las incógnitas que coinciden con lo que nos preguntan: “¿A cómo está el kilo de peras yel de plátanos?” x = precio del kg de plátanos y = precio del kg de peras 2. Paso. Se plantean las dos ecuaciones. 1ª Ecuación Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros 2ª Ecuación Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros El sistema es el siguiente:
2x + 3y = 7,80
5x + 4y = 13,20
2 x 3 y 7,80 ® ¯5 x 4 y 13,20 3. Paso. Resolver el sistema. Loresuelvo por ejemplo por reducción. 1º Elijo la incógnita x. 2º Para que tengan coeficientes opuestos multiplico la primera ecuación por -5 y la segunda por 2 10 x 15 y 39 ® ¯ 10 x 8 y 26,4 3º Sumando las dos ecuaciones + -10x - 15y = -39 10x + 8y = 26,4 -7y = -12,6 2x +3·1,8 = 7,80 2x = 7,80 – 5,4
y = 1,8
4º Se sustituye en una ecuación
x = 1,2
Solución ( x = 1,2 , y = 1,8) Ahorase comprueba que es correcta la solución:
Dos kilos de plátanos y tres de peras cuestan 7,80 euros 2·1,2 + 3·1,8 = 2,4 + 5,4 = 7,8 Bien Cinco kilos de plátanos y cuatro de peras cuestan 13,20 euros 5·1,2 + 4·1,8 = 6 + 7,2 = 13,20 Bien
3. En un corral hay gallinas y conejos. En total hay 14 cabezas y 38 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en el corral? Resolución. Este problema...
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