Matemáticas

Algebra y Geometr´ Anal´ ıa ıtica Binomio de Newton. Demostraci´n por Inducci´n o o

Recordemos, el binomio de Newton afirma que:

n

(a + b) =
k=0

n

n n−k k a b . k

Demostraci´n: oConsideremos la funci´n proposicional o

p(n) : (a + b)n =

n k=0

n k

an−k bk , probe-

mos en primera instancia que p(1) es verdadera.
1 k=0 1 k

i) p(1) : (a + b)1 =

a1−k bk .Tomememos el segundo miembro de esta igual-

dad y tratemos de llegar al primer miembro:
1 k=0 1 0 1 k 1 1

a1−k bk = = 1.

1 0

a1 b0 +

1 1

a0 b1 = 1a + 1b = a + b = (a + b)1 , ya que=

ii) Supongamos que p(h) es verdadera, la cual representa la hip´tesis Inductiva, o o sea:
h

p(h) : (a + b)h =
k=0

h h−k k a b , k

finalmente,

iii) Probemos que p(n) es verdadera paran = h + 1, ocupando la hip´tesis inductiva. o Debemos probar que se cumple la siguiente igualdad:
h+1 h+1

(a + b)

=
k=0

h + 1 h+1−k k a b , k

Dem.:
´ Algebra y Geometr´ Anal´ ıa ıticaSegundo Semestre 2005

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Prof. Magister Osmar Vera

´ Algebra y Geometr´ Anal´ ıa ıtica

(a + b)h+1 = (a + b) · (a + b)h
h

= a·
k=0 h

h h−k k a b +b· k k=0
h

h

h h−k k a b k=
k=0

h h−k+1 k a b + k k=0
(1)

h h−k k+1 a b k
(2)

Tengamos en cuenta que en la primera igualdad se aplica la propiedad del producto de potencias de igual base. En la otra se ocup´ lahip´tesis inductiva, y la o o distributividad de la suma respecto del producto, y en la ultima se introducen ´ los factores a y b respectivos dentro de las sumatorias, ya que no dependen del sub´ındice de la sumatoria.

Ahora vamos a desdoblar ambas sumas (1) y (2) del siguiente modo: en (1) le quitamos el primer t´rmino y sumamos desde k = 1 hasta h y en (2) le quitamos e el ultimo t´rmino ysumamos desde k = 0 hasta k = h − 1 ´ e (1) = (2) =
k=0

h h+1 0 a b + 0 k=1
h−1

h

h h+1−k k a b k

h 0 h+1 h h−k k+1 ab a b + h k
h+1 0

Tengamos en cuenta que

h 0

=

y que...