MATERIA

PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO
Datos: es una información.
Un dato se obtiene de un experimento.
Experimento: es cualquier procedimiento mediante el cual se obtiene datos.
¿Qué contamos?
Todos los posibles datos que generan un experimento.
DIGRAMA DE ÁRBOL
¿Cuántos resultados posibles tengo al lanzar una moneda?

C
moneda

S

¿Cuántos resultados posibles tengo al lanzar tres monedas?
C
C
S

C
S
C
Smoneda

C
C

S

S
C

S
S
Espacio muestral: es un conjunto cuyos elementos son todos los posibles resultados de un
experimento.
S= {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss}

REGLA m x m
Si una operación se puede llevar acabo en n1 formas y si para cada una de estas se puede
realizar una operación en n2 formas, entonces las operaciones se pueden realizar juntas de
n1 x n2 formas.
Ejercicio 1: unurbanista de una subdivisión ofrece a los futuros compradores de una casa,
la elección del estilo de la fachada entre tudor, rustica, colonial o tradicional, en una planta,
dos plantas o en desniveles. ¿En cuántas formas diferentes un comprador puede ordenar
cada una de estas casas?
Estilos: tudor, rustico, colonial, tradicional
Pisos: una planta, dos plantas, desnivel
n1= 4

4 x 3 = 12

n2= 3Tudor

1 planta
2 plantas
desnivel
1 planta

Rústica

2 plantas

desnivel
casa

1 planta
Colonial

2 plantas
desnivel
1 planta

Tradicional

2 plantas
desnivel

S= {T1,T2,TD,R1,R2,RD,C1,C2,CD,TR1,TR2,TRD}
Ejercicio 2: una persona que compra una pizza puede elegir entre 3 distintos tamaños de
masa, 2 diferentes tipos de aderezos, que se los puede servir en cualquiera de los 5 tipos de
clases de pizzaque ofrece el restaurante. ¿Cuantas formas distintas de elección tiene un
cliente para seleccionar una pizza?
n1 x n2 x n3
3 x 2 x 5= 30 formas de elección.

Ejercicio 3: cuantos números pares de 4 dígitos se puede formar con los dígitos 0, 1, 2, 5,
6,9 si cada digito se puede usar solo una vez.
Primera parte: unidad el cero
u
1

d
3

c
4

m
5

= 1 x 3 x 4 x 5 = 60 números pares de cuatro dígitosterminados
en cero

Segunda parte: unidad no es el cero
u
2

d
3

c
4

m
4

= 2 x 3 x 4 x 4 = 96 números pares de cuatro dígitos que
terminan en 2 o 6

Resp: 60 + 96 = 156 formas de números pares de 4 dígitos que se puede formar con 1,
2, 5, 6, 9.
¿Cuántas formas posibles existen de ordenar los cumpleaños de 20 personas?
Resp: 36520
PERMUTACIONES
Una permutación es un arreglo de todo o parte de unconjunto de objetos.

¿De cuantas formas puedo arreglar las 3 letras a b c?

S=

abcde
n1= 5
n2 = 4
n3= 3
n4= 2
n5= 1

abc
acb
bac
bca
cba
cab

n1= 3
n2 = 2
n3= 1
6
3!= 3 x 2 x 1 =6 formas distintas
de arreglar las letras a b c.

5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120 formas distintas de arreglar.

Para permutar u ordenar n elementos se calcula el factorial de dicho número de elementos.
Permutaciones de nobjetos tomados de r a la vez
𝒏𝑷𝒓 =

𝒏!
(𝒏 − 𝒓)!

¿Cuántas permutaciones existen de 5 objetos tomados de 3 a la vez?
𝟓𝑷𝟑 =

𝟓!
120
=
= 60
(𝟓 − 𝟑)!
2

¿De cuantas formas distintas se puede ordenar las letras de la palabra SHIRLEY?
7!= 5040 formas de ordenar todas las letras.
Permutaciones distintas de n objetos de los que n1 son de una clase, n2 de una segunda
clase,… nk de una késima clase
6!FABIAN = 2! =

6(5)(4)(3)(2!)

= 𝟑𝟔𝟎 formas

2!
10!

3628800

STATISTICS = 3!(3!)(2!) =
9!

72

362880

ESTEFANIA = 2!(2!) =

4

= 𝟓𝟎𝟒𝟎𝟎 formas de ordenar

= 𝟗𝟎𝟕𝟐𝟎 formas

JUAN = 4! = 24 formas
Combinaciones de n objetos tomados de r

𝒏
𝒏!
𝒏𝑪𝒓 = ( ) =
𝒓
𝒓! (𝒏 − 𝒓)!

¿Cuántas combinaciones de 2 puedo obtener de las letras a b c?
3!

3𝐶2 = (32) = 2!(3−2)! =

3(2!)
2!

= 𝟑 Combinaciones

¿Cuántaspermutaciones y combinaciones de 3 puedo obtener de las letras a b c d e?
Permutaciones: 5𝑃3 =

5!
(5−3)!

=

5(4)(3)(2!)
2!
5!

Combinaciones: 5𝐶3 = (53) = 3!(5−3)! =

= 𝟔𝟎 Permutaciones
5(4)(3) (2!)
3!(2!)

= 𝟏𝟎 Combinaciones

COMBINACIÓN: no importa el orden
PERMUTACIÓN: si importa el orden.

EJERCICIOS
 a) ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden hacer con las letras de la palabra
COLUMNA?...