MATERIAL DE APOYO DE MATRICES

Introducción a las matrices

 Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en laresolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación,ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...


Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:

Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2,..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales.
Vamos a describir algunos tipos de matrices queaparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n.
Ejemplo
Una matriz fila está constituida por una sola fila.


Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.
Ejemplo
La matrizcolumna tiene una sola columna


Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.
Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Los elementos de la forma aii constituyenla diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.


Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , lasegunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At es de orden n  m.
Ejemplo
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica siA = At, es decir, si aij = aji i, j.

Matriz anti simétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es unamatriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que...