Material_de_apoyo_revisado_12_Dic

Funciones1
Nociones de topolog´ıa en Rn
Definici´
on Si n ≥ 1 es un n´
umero natural, se llama Rn al conjunto formado por todas las n-tuplas2
x
¯ = (x1 , . . . , xn ) de n´
umeros reales. A los elementos de Rn se les llama tambi´en vectores de n componentes.
A los n´
umeros reales, para distinguirlos de los vectores, se les llama tambi´en escalares.
Al vector (0, . . . 0) ∈ Rn se le representasimplemente por ¯0.
Operaciones con vectores
• Suma. Si x¯ = (x1 , . . . , xn ), y¯ = (y1 , . . . , yn ), entonces x¯ + y¯ = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). Ejemplo:
(4, −2, 1/2) + (−1, 0, 2) = (3, −2, 5/2).
• Producto por un escalar. Si α ∈ R y x¯ = (x1 , . . . , xn ), entonces α¯
x = (αx1 , . . . , αxn). Ejemplo:
−3(1, 0, 1/3, −4) = (−3, 0, −1, 12).
• Producto escalar de vectores. Si x¯ = (x1 , . .. , xn ), y¯ = (y1 , . . . , yn ), entonces
x¯y¯ = x1 y1 + · · · + xn yn .
Ejemplo:
(2, −1, 5)(1, 0, 10) = 2 · 1 + (−1) · 0 + 5 · 10 = 52.
´n: El producto de dos vectores es un escalar y no un vector. No debes “olvidarte” de sumar
Atencio
y calcular
(2, −1, 5)(1, 0, 10) = (2, 0, 50) (¡MAL!)
Ejemplo 1 Supongamos que tenemos tres productos A, B y C y que el vector de precios es p¯0 = (5, 1, 2).
Enenero se establece una rebaja dada por el vector de incrementos ∆p¯ = (−1, − 81 , − 12 ). Deternimar el
nuevo vector de precios rebajados.
Soluci´
on:
p¯1 = p¯0 + ∆p¯ =

7 3
4, ,
8 2

.

Ejemplo 2 Supongamos ahora otro mercado cuyo vector de precios es p¯0 = (5, 6, 3). Al a˜
no siguiente, la
inflaci´
on determina un aumento en los precios del 2%. Determinar el nuevo vector de precios resultante.
1Se

corresponde con el Tema 2 del temario oficial ”L´ımites y continuidad de funciones“
n´
umeros reales forman un par (x, y), tres una terna (x, y, z), cuatro una cu´
adrupla (x, y, z, w), cinco una qu´ıntupla,
seis una s´
extupla y, en general, n n´
umeros reales forman una n-tupla.
2 Dos

1

2
Soluci´
on:

2
p¯0 = (5, 6, 3) + (0.1, 0.12, 0.06) = (5.1, 6.12, 3.06).
100
Lo que debes aprender deeste ejemplo es que el c´alculo con vectores permite resumir en una u
´ nica
operaci´
on matem´
atica lo que, componente a componente, son n operaciones simult´
aneas con n bloques
de datos.
p¯1 = p¯ +

A lo largo de la asignatura vamos a trabajar en el espacio vectorial Rn . Ahora bien, en numerosos contextos no vamos a considerar todo Rn , sino que vamos a tener la limitaci´on de restringuirnosu
´nicamente
a aquellos vectores pertenecientes a un determinado subconjunto de Rn . Por ello es muy importante que
aprendamos a identificar los subconjuntos de Rn que van a ir apareciendo, sus principales caracter´ısticas
y como trabajar con ellos.
Definici´
on Un subconjunto de Rn se define como el conjunto de vectores x¯ = (x1 , . . . , xn ) de Rn tales
que verifican una serie de condiciones.Dichas condiciones se expresan en su mayor´ıa en t´erminos de
ecuaciones, tanto de igualdad como de desigualdad, lineales y no lineales. Un subconjunto gen´erico de
Rn se expresa del modo siguiente:
S = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | condiciones que han de verificar x1 , . . . , xn }.

Funciones de una y varias variables: conceptos b´
asicos
Funciones escalares y vectoriales
Definici´
on Una funci´
onvectorial de n variables y m coordenadas es una funci´on
f : D ⊂ Rn −→ Rm ,
es decir, cualquier criterio que transforme mediante operaciones matem´aticas correctamente definidas un
vector de n componentes en un vector de m componentes. El conjunto D sobre el que est´a definida la
funci´
on f (es decir, donde tiene sentido calcularla) se llama dominio de f.
Ejemplo 3 La funci´
on f(x, y, z) = (x2/y, x + y + z) es una funci´
on vectorial que tranforma vectores
de R3 en vectores de R2 . Para calcular la im´
agen de un vector de R3 , sustituimos en cada una de las
expresiones que determinan el vector de R2 resultante. Por ejemplo, la imagen del vector (1, 2, 4) viene
dada por:
f(1, 2, 4) = (12 /2, 1 + 2 + 4) = (0.5, 7)
Por consiguiente esta funci´
on ha transformado el vector (1, 2, 4) en...