MATERIAL SOBRE PROGRESIONES

PROGRESIONES ARITMÉTICAS.Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos, excepto el primero,
se obtiene sumando al anterior una constante d, que se denomina diferencia de la progresión.
• TÉRMINO N-ÉSIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.Si a1, a2, a3, a4, a5, ..., an-1, an, ...es una progresión aritmética, cuya diferencia es d, se pueden escribir las
siguientesigualdades:
a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = a1 + 2d,
a4 = a3 + d = a1 + 3d,
a5 = a4 + d = a1 + 4d,
an = an-1 + d = a1 + (n -1)d.
Es decir:
El término n-ésimo de una progresión aritmética se obtiene sumando al primer término la
diferencia multiplicada por (n -1):

an = a1 + (n-1)d.
Ejemplos:
a) Hallar el octavo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 3 y cuya razón es 5.
Como a1 = 3, d =5 y n = 8, se tiene:
a5 = a1 + (8 -1)d = 3 + 7.5 = 38.
b) Hallar el primer término de una progresión aritmética que consta de veinte términos, si se sabe que
el último es 83 y que la diferencia es 4.
Como a20 = 83, d = 4 y n = 20, resulta:
83 = a1 + (20 -1) .4 → a1 = 83 -19·4 = 7.
• TÉRMINOS EQUIDISTANTES DE LOS EXTREMOS.Dos términos ap y aq de una sucesión limitada son equidistantes de losextremos cuando el número de
términos que preceden a ap es igual al número de términos que siguen a aq.
En las progresiones aritméticas limitadas los términos equidistantes de los extremos verifican la siguiente
propiedad:
La suma de dos términos de una progresión aritmética limitada, equidistantes de los
términos extremos, es igual a la suma de dichos extremos.
En efecto, en la progresión aritméticalimitada, de diferencia d:
÷ a1 , a2, a3, ..., an,
los dos términos ah+1 y an-h son equidistantes de los extremos, ya que:
◘ al término ah+1 le preceden h términos;
◘ al término an-h le siguen h términos;
Aplicando a ambos la fórmula del término general, resulta:
ah + 1 = a1 + (h + 1-1) d = a1 + hd;
an-h = a1 + (n -h -1)d = a1 + (n -1)d -hd.
Sumando miembro a miembro las dos últimas igualdades, seobtiene lo que se desea demostrar:
ah+1 + an-h = (a1 + hd) + [a1 + (n-1)d-hd] = a1 + a1 + (n-1)d = a1 + an.
1

an
Ejemplo:
En la progresión aritmética limitada 3, 7, 11, 15, 19, 23, se verifica:
3 + 23 = 7 + 19 = 11 + 15.
Nota: Cuando una progresión aritmética limitada está formada por un número impar de términos, el
término medio es igual a la semisuma de los términos extremos, ya que esequidistante de los
dos extremos consigo mismo.
• SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESION ARITMETICA LIMITADA.Sea la progresión aritmética limitada, de n términos:
÷ a1 , a2, a3, ..., an-2, an-1, an.

Si S representa la suma de todos los términos, se tiene:
S = a1 + a2 + a3 + ...+ an-2 + an-1 + an
Teniendo en cuenta la propiedad conmutativa de la adición:
S = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1.
Sumandomiembro a miembro, y en columna, ambas igualdades, resulta:
2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + ...+ (an-2 + a3) + (an-1 + a2) + (an + a1).
Los sumandos entre paréntesis corresponden a términos equidistantes de los extremos, cuya
suma, según la propiedad anterior, es a1 + an . Por tanto:
2S= (a1 + an)·n

→ S=

a1 + a
2

⋅n

Es decir:
La suma de los términos de una progresión aritméticalimitada es igual a la semisuma de los
términos extremos multiplicada por el número de términos.
Ejemplos:
a) Hallar la suma de los n primeros números naturales.
Como a1 = 1, d = 1, → an = 1 + (n -1)1 = n y n = n, se tiene: S =

1+n
n + n2
⋅n =
2
2

b) Hallar la suma de los n primeros números pares.
Como a1 = 2, d = 2, → an = 2 + (n -1)2 = 2n y n = n, resulta: S =

2 + 2n
⋅ n = n + n2
2

Con las dosfórmulas fundamentales obtenidas para las progresiones aritméticas, se puede establecer el
siguiente sistema:
a n = a1 + (n − 1)d

 S = a1 + a n ⋅ n

2
En él hay cinco variables, a1, an, d, n y S, relacionadas entre sí de tal manera que, si se conocen tres de
ellas, se pueden determinar las dos restantes.
Ejemplo:
En una progresión aritmética limitada, cuyo primer término es 67 y cuya...