MATERIAL VARIABLES SEPARABLES

CAPÍTULO

2
Métodos de solución de ED de primer orden

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
El primer tipo de ED que presentamos es el de ED de variable separables, llamadas así porque es práctrica
común en ecuaciones de dos variables el tratar de separarlas, como se muestra en los siguientes ejemplos.
.x 2

Ejemplo 2.2.1 Separar las variables de la siguiente ecuación algebraica:x/.y 2 C 3/ D 2xy.

H Por separar las variables de la ecuación se entiende que por medio de operaciones algebraicas válidas
se coloquen todas las x de un lado de la igualdad y todas las y del otro lado. En este caso
.x 2

x/.y 2 C 3/ D 2xy )

x2

x
x

D

2y
:
y2 C 3

Se han colocada las x del lado izquierdo de la ecuación; las y del lado derecho.
dy
D 2
dx
.x

Ejemplo 2.2.2 Separar las variablesde la siguiente ED:

2xy
.
x/.y 2 C 3/

H Para una ED como ésta, separar variables significa que por medio de operaciones algebraicas válidas
se escriba la ED en la forma:
g.y/ dy D h.x/ dx ;
para algunas funciones g.y/ y h.x/. En este caso tenemos:
dy
D 2
dx
.x
Para este caso:
g.y/ D
1 canek.azc.uam.mx:

y2 C 3
y

2xy
y2 C 3
2x
)
dy D 2
dx :
2
x/.y C 3/
y
x
x
&

h.x/ D

2x
x2

14/ 1/ 2010

1

xcon

y ¤ 0 y x2

x ¤ 0:

2

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Del resultado anterior, se concluye que la ecuación diferencial

dy
D 2
dx
.x

bles separables.

Ejemplo 2.2.3 Separar las variables de la siguiente ED:
H

dx
D 2
dy
.x

2xy
es una ED de variax/.y 2 C 3/

2xy
.
x/.y 2 C 3/

Al escribir la ED en la forma g.y/ dy D h.x/ dx se tiene:
2xy
x2 x
2y
)
dx D 2
dy :
2
x/.y C 3/
x
y C3

dx
D2
dy
.x
En este caso:
g.y/ D

2y
2
y C3

Se concluye que la ecuación diferencial

Una ecuación diferencial:
la forma:

y0 D

&

h.x/ D

dx
D 2
dy
.x

x2

x
x

con

x ¤ 0:

2xy
es una ED de variables separables.
x/.y 2 C 3/

dy
D f .x; y/ es de variables separables si podemos escribirla en
dx
g.y/ dy D h.x/ dx :

El método para resolver una ecuación diferencial de variables separables consiste enintegrar esta
última igualdad, es decir:
g.y/ dy D

h.x/ dx )

) ˛.y/ C C1 D ˇ.x/ C C2 ) ˛.y/
)

ˇ.x/ D C2

C1 )

.x; y/ D C , que es la solución general de la ED.

En general, la solución queda definida de manera implícita. Ilustramos este método con los ejemplos
siguientes.

Ejemplo 2.2.4 Resolver la ecuación diferencial: y 0 D
H

dy
D sen x.
dx

Separando las variables se tiene:
dy
D sen x ) dy Dsen x dx :
dx

Integrando directamente:
dy D

sen x dx ) y D

que es la solución general de la ED.

Ejemplo 2.2.5 Resolver la ecuación diferencial: y 0 D sen y.

cos x C C;

2.2 Ecuaciones diferenciales de variables separables
H

3

Separando las variables se tiene:
dy
dy
D sen y )
D dx :
dx
sen y

Integrando:
dy
D dx )
csc y dy D x C C )
sen y
) ln j csc y cot y j D x C C :
Esta últimaexpresión representa la solución general de la ED en forma implícita.

Ejemplo 2.2.6 Resolver la ecuación diferencial:
H

dy
D 2
dx
.x

2xy
.
2/.y 2 C 3/

Separando las variables:
dy
D 2
dx
.x

2xy
y2 C 3
2x
)
dy D 2
dx :
2
2/.y C 3/
y
x
2

Integrando:
2x
y2 C 3
dy C C1 D
dx C C2 )
y
x2 2
Â
Ã
3
yC
)
dy D ln x 2 2 C C )
y
y2
)
C 3 ln j y j D ln x 2 2 C C :
2
Esta última expresión representa la solucióngeneral de la ED en forma implícita.
Observación: En este punto es pertinente aclarar que el uso del valor absoluto en la integral
dy
D ln j y j C C
y
es la forma correcta de aplicar esta fórmula de integración. Sin embargo, con cierta frecuencia en las
páginas siguientes y el resto del libro, el lector podrá encontra varias veces
du
D ln u C C:
u
Esto se hace por facilidad de escritura o bien porconveniencia, para hacer algunas manipulaciones y
conseguir despejar a la variable dependiente en la solución de la ED.
Se supone también que el lector conoce, por sus cursos previos de cálculo, las convenciones usuales
en la manipulación de funciones elementales. Así por ejemplo, al escribir
sen y D f .x/ ) y D arcsenŒf .x/
no hace falta insistir que para que y sea una función bien definida se...