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Material Docente – Polinomios.
1.0
Definición:

Polinomios:
Se llama Polinomio de grado n, en variable x a toda expresión de la forma:
p( x)  an x n  an1 x n1  ...  a2 x 2  a1 x  a0

Donde los ai son números reales, llamados coeficientes, an  0 , y n es un entero positivo
También se le conoce como Función polinomial de n - ésimo grado. Se hará referencia a
p(x) como una funciónpolinomial de grado n , o de manera más simple, como una función
polinomial. Una función constante, diferente de cero, es un polinomio de grado cero, una
función lineal es un polinomio de primer grado y una función cuadrática es un polinomio de
segundo grado. La función constante q( x)  0 también se considera como un polinomio, es el
polinomio neutro, pero no se le asigna un grado.
Grado de un polinomio,es el mayor de los grados de los monomios que lo componen.
Los polinomios se escriben con sus términos en orden decreciente de potencias. El primer
término será por tanto el de potencia máxima, que se conoce como el término dominante del
polinomio y además indica su grado.
Los coeficientes de un polinomio pueden ser números complejos, o pueden estar restringidos a
los números reales, númerosracionales o enteros, dependiendo del interés de estudio. El
dominio de una función polinomial puede ser el conjunto de los números complejos, el conjunto
de los números reales, o subconjuntos adecuados de ellos, dependiendo de nuestro interés. En
general, el contexto indicará la elección de los coeficientes y del dominio.
Se dice que el número real r es una raíz del polinomio p(x) , o de la funciónpolinomial p , o
una solución o raíz de la ecuación p( x)  0 , si se verifica que p(r )  0 .
Una raíz de un polinomio puede o no ser el
número cero. Una raíz de un polinomio es
cualquier número que haga que el valor del
polinomio sea cero.
Si los coeficientes de un polinomio p(x) son
números reales, entonces una raíz real es
simplemente una intersección con el eje OX
(eje horizontal) y la gráficade la función
polinomial y  p(x) .
Sea p una función polinomial no constante, y sea I un intervalo contenido en el dominio de p
y x  r un punto de I . Diremos que la función p tiene una raíz o un cero en

x  x0 , cuando

p( r )  0 .
Raíces:

2.0.

Si los coeficientes de un polinomio p(x) son números reales, entonces las intersecciones de la
gráfica de y  p(x) con el eje horizontal son lasraíces reales de p y p(x) , y son las
soluciones reales o raíces para la ecuación p( x)  0
Operaciones con de Polinomios:

2.1.

Suma de Polinomios:
La suma de polinomios se efectúa sumando los coeficientes de las potencias iguales, o sea
agrupando términos del mismo grado. La suma de polinomios es asociativa y conmutativa, el
polinomio q( x)  0 es el polinomio neutro, además todo polinomio tienepolinomio opuesto.

2.2.

Diferencia de Polinomios:
La resta (o diferencia) se hace igual que la suma, salvo que al quitar un paréntesis que vaya
precedido por un signo menos, cada término del interior del paréntesis cambiará de signo. Ello
se debe a que formalmente la diferencia se define como la suma del opuesto, es decir:

p( x)  q( x)  p( x)   q( x)
2.3.

Producto de Polinomios:
Seefectúa utilizando las propiedades del producto de los números reales, la distributividad, la
regla de los signos, y la del producto de potencias de igual base distinto exponente, dada por
x m ·x n  x mn . El producto de polinomios tiene las siguientes propiedades, es asociativo y
conmutativo, o sea p( x)·q( x)  q( x)· p( x) ; el polinomio constante q( x)  1 es el polinomio neutro.

2.4.

División dePolinomios:
La división larga de polinomios es muy parecida al proceso de la división larga con números
reales. Por ejemplo, para dividir: 6 x 2  26x  12 (el dividendo) entre x  4 (el divisor), lo hacemos
como sigue:
6 x 2  26x  12 : x  4  6 x  2
6 x 2  24x
 2 x  12
 2x  8
4

El proceso termina cuando la última fila es de menor grado que el divisor x  4 . Entonces la
última fila...