materiales de construccion

Ingeniería de Sistemas

1. Breves Apuntes de la Transformada de Laplace
Nota: Estos apuntes tomados de diferentes bibliografías y apuntes de clase, no
sustituyen las diapositivas ni laexplicación del profesor, sino que complementan a las
clases presenciales.
Transformada Directa de Laplace
La técnica de la transformada de Laplace se utiliza para la resolución de
ecuaciones diferencialeslineales de coeficientes constantes, transformando estas en
ecuaciones algebraicas lineales.
La transformada de Laplace de una función f (t ) se define como
∞

L{ f (t )} = F ( s) = ∫ f (t )e − stdt , s = σ + jω

(1.1)

0

pasando del dominio temporal t al dominio complejo s , siendo F ( s) llamada
transformada de Laplace de f (t ) , formando el par

f ( t ) ⇔ F ( s)

(1.2)Ejemplo:
•

f (t ) = 1
∞

1
F ( s) = ∫ 1e − st dt = , s > 0
s
0

•

f (t ) = e at
∞

∞

F ( s) = ∫ e e dt = ∫ e − ( s− a ) t dt =
at

0

− st

0

1
, s>a
(s − a)

Ladefinición de la transformada hace necesaria que la integral converja, por lo
tanto se ha de cumplir que
lim f ( t ) e − st = 0
t→ ∞

(1.3)

Ingeniería de Sistemas
Propiedades de la Transformada deLaplace

Se exponen un conjunto de propiedades de la transformada que harán más fácil
su cálculo.
a) Linealidad

L{a1 f 1 (t ) + a 2 f 2 (t )} = a1 F1 ( s) + a 2 F2 ( s)

(1.4)

L{ f (t − T)u(t − T )} = e − st F ( s)

(1.5)

L{ e − at f (t )} = F ( s + a )

(1.6)

L{ f ' (t )} = sF ( s) − f (0)

(1.7)

b) Desplazamiento

c) Amortiguación

d) Derivación

En el caso másgeneral
L{ f

n)

(t )} = s n F ( s) − s n −1 f (0) − s n − 2 f ' (0) − − f

n −1)

(0)

(1.8)

Esta propiedad es muy útil para la resolución de ecuaciones diferenciales.
e) Integración⎫ F ( s) 1 0
⎧t
+ ∫ f (t )dt
L ⎨ ∫ f (t )dt ⎬ =
s
s −∞
⎭
⎩−∞

(1.9)

f) Multiplicación por potencias de t
L{t n f (t )} = ( −1) n F n ) ( s)

(1.10)

Ingeniería de Sistemas
Se...