Materiales Instriales

Cap´ ıtulo 8: Conexidad
Lecci´n 5 : Conexidad por caminos o
La primera noci´n de “conexidad” fue dada por K. Weierstrass, la cual en el o contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un subconjunto M ⊆ R2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectados por un caminoque no se sale de M . Por ejemplo, la figura 8.8 es no-conexa seg´n este criterio ya u que todo “camino” quevaya de una circunferencia a la otra, tiene que pasar por “fuera” de las dos regiones —la regi´n comprendida entre ellas—. o

Claro que en este ejemplo, el criterio de conexidad de Wierstrass y el que vimos en la secci´n anterior coinciden, pero no siempre este es el caso. o 8.28. Definici´n. o Sea (X, G) un espacio topol´gico. Un camino en X es o una funci´n continua f : [0, 1] −→ X. Si f (0) =a, f (1) = b decimos que el o camino tiene punto inicial en a y punto final en b. El concepto de camino es mucho m´s sutil de lo que aparenta. En la mayor´ a ıa de los casos al camino lo identificamos con f ([0, 1]) y es en esta situaci´n cuando o nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino. C. Jordan en 1877, G. Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvas capaces de llenar un cuadrado.¿Se trataba de “monstruos” desprovistos de utilidad? En un comienzo se crey´ as´ o ı, pero poco a poco se apropiaron con justa raz´n y valor, de su propio derecho o a existir y hoy en d´ los podr´ ıa ıamos ubicar como pioneros de la teor´ de los ıa “fractales” de B. Mandelbrot . Cerremos este comentario evocando las palabras de Cantor a Dedekind, 20 junio de 1877 “ ... lo veo pero no puedo creerlo... se trata de mostrar que las superficies, los vol´menes e incluso las variedades continuas de n u dimensiones pueden ponerse en correspondencia un´ ıvoca con curvas continuas, o sea con variedades de una sola dimensi´n, y que por o consiguiente las superficies, los vol´menes y las variedades de n u dimensiones tienen tambi´n la misma potencia que las curvas...”. e 1

8.29. Definici´n. o Unespacio topol´gico (X, G) es conexo por caminos si y o s´lo si dados x, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final o en y. Cada par de puntos en X pueden ser unidos por un camino.

8.30. Ejemplo. 8.31. Ejemplo.

Para cada n ∈ N , (Rn , usual) es conexo por caminos. Para cada n ∈ N , la esfera S n es conexa por caminos.

8.32. Ejemplo. Sea S = {0, 1} con la topolog´ deSierpinski. Definamos ıa a f [0, 1] −→ S como, f (t) = 0 si t ∈ [0, 1), f (1) = 1. Entonces f es continua y S es conexo por caminos.

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Dado un espacio (X, G), en el conjunto C([0, 1], X) de todos los caminos sobre X podemos introducir una operaci´n “⊗” as´ ver figura 8.10: dados dos o ı caminos f, g tales que f (1) = g(0) definimos otro camino f ⊗ g como f (2t) g(2t − 1) si 0 ≤ t ≤ 1/2 si 1/2 ≤ t ≤ 1.f ⊗ g(t) =

f ⊗ g es una funci´n continua, puesto que el conjunto donde coinciden f y o g es {1/2}, que es la intersecci´n de los dos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1]. Si adem´s o a definimos fr por fr (t) = f (1 − t) vemos que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su direcci´n es la contraria. Notemos que fr ⊗ f es un camino cerrado –el o punto inicial coincide con el punto final–.

8.33.Teorema. Sean (X, G) un espacio topol´gico y x ∈ X. X es conexo o por caminos si y s´lo si cada punto y ∈ X puede ser unido por un camino con o el punto x. Demostraci´n. La necesidad de la condici´n es obvia. En el otro sentido, o o dados p, q ∈ X sabemos que existen caminos f, g que unen a p con x y a q con x respectivamente. Entonces f ⊗ g une a p con q. El concepto de conexidad por caminos es m´sfuerte que el de conexidad. a

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8.34. Teorema.

Si (X, G) es conexo por caminos entonces es conexo.

Demostraci´n. Por el teorema anterior dado un punto x ∈ X todo otro o punto est´ en la componente conexa de x ya que f ([0, 1]) es conexo para todo a camino f ; as´ la componente conexa de x es todo X. ı,

8.35. Ejemplo. Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva...