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Sucesiones
Una sucesión sn=s1,s2,s3,…,sn,…, es una función de n cuyo dominio de definición lo constituye el conjunto de números positivos
Se dice que una sucesión snesta acotada, si dos números, P y Q, de manera que P≤sn≤Q para todos los valores de n. por ejemplo, la sucesión 32,54,76,…,2n+12n…, esta acotada, ya que 1≤sn≤2para todos los valores de n, sin embargo, la sucesión 2, 4, 6, …,2n, no lo está.
Una sucesión sn es creciente si s1≤s2≤s3….≤sn≤ …, y decreciente cuando s1≥s2≥s3….≥sn≥ …. por ejemplo, las sucesiones n2n+1= 12,43 ,94,165,… y {2n--1)n= 3, 3, 7, 7, … son crecientes y las sucesiones 1n= 1, 12,13,14, … y –n= -1, -2, -3,-4, …, son decrecientes.
Una sucesión sn converge hacia un límite finito s, [ limn →+∞sn=s ], cuando, dado unnumero ϵ tan pequeño como queramos, se puede encontrar un entero positivo m de manera que a partir de un n dado y para todos los siguientes n>m, se verifica la desigualdad s-sn<ϵ. si una sucesión tiene límite es convergente, y si no lo tiene recibe el nombre de divergente.
Una sucesión sn diverge o tiende a ∞, [ limn →+∞sn=∞], cuando, dado un numero positivo M tan grande como queramos,existe un entero positivo m de manera que a partir de un n dado y para todos los siguientes, n>m , se verifica la desigualdad |sn|>M si sn>M, limn→+∞sn=+∞ si sn<-M, lim⁡sn=-∞
Teorema de las sucesiones
I. Toda sucesión acotada, creciente o decreciente, es convergente.
II. Toda sucesión no acotada es divergente.
III. Una sucesión convergente (divergente) no modifica sucarácter al cambio de lugar una o todos de sus n primeros términos.
IV. El límite de una sucesión convergente es único. Si limn→+∞sn=s y limn→+∞tn=t
V. limn→+∞ k∙sn= k limn→+∞sn=ks, k siendo k una constante cualquiera
VI. limn→+∞(sn±tn)=limn→+∞sn±limn→+∞tn=s±t.
VII. limn→+∞(sn∙tn)=limn→+∞sn∙limn→+∞tn=s∙t.
VIII. limn→+∞(sn/tn)=limn→+∞sn/limn→+∞tn=s/t. siempre quet≠0 y tn≠0 para todos los valores n.
IX. Sea {sn} una sucesión de términos nos nulos;
si limn→+∞sn=∞, se verifica limn→+∞ 1sn=0
X. Si a>1, limn→+∞an=+∞
XI. Si r<1,se verifica limn→+∞ rn=0
La suma indicada

sn=n=1+∞sn=s1+s2+s3+…+sn+…
De los términos de una sucesión {sn}resive el nombre de serie. A toda serie se le asocia una sucesión de sumas parciales:S1=s1,S2=s1+s2,S3=s1+s2+s3,Sn=s1+s2+s3+…+sn
si limn→+∞Sn=S.siendo S un numero finito, la serie (1) se denomina convergente y S es su suma. Si no existe limn→+∞Snla serie (1) se denomina divergente. Una serie también es divergente bien porque limn→+∞Sn=∞, o bien porque a medida que crese n,Sn va aumentando y disminuyendo sin aproximarse a un límite; en este último caso la serie recibe el nombre de oscilante. Porejemplo, en la serie 1-1+1-1+…, S1=1,S2=0,S3=1,S4=0,…
De los teoremas anteriores se deducen las consecuencias siguientes
I. Una serie convergente (divergente) sigue siendo convergente (divergente) si se cambia el orden de uno o de todos sus n primeros términos.
II. La suma de una serie convergente es única.
III. Si sn converge hacia S, la serie ksn, siendo k una constante, convergentekS. Si snes divergente, también lo es ksn.
IV. Si snes convergente, se verifica limn→+∞sn=0.
V. Si limn→+∞sn≠0, la serie snes divergente.

Problemas:
* Demostrar que si {sn}es una sucesión de términos no nulos y limn→+∞sn=∞,se verifica limn→+∞1sn=0
Elegido un numero mu pequeño ϵ>0, de limn→+∞sn=∞,se deduce que para todo M>1ϵ,existirá un entero positivo m de manera que apartir de él y para todos los siguientes, n>m, se verifica la desigualdad sn>M>1ϵ. para este valor de m, 1sn<1M<ϵ siempre que n>m;por tanto, limn→+∞sn=0.
* Sabiendo que la suma de la serie 1+12+14+18+116+… es igual a 2, hallar la suma de la serie que resulta cuando (a) se suprime los cuatro primeros términos, (b) cuando se añaden a la dada los términos 8+4+2.

a) La serie...