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Límites de Funciones Trigonométricas

Límites de las funciones trigonométricas
Teorema:
Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumple:
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Cuando calculamos límites trigonométricos es necesario recordar las siguientes identidades básicas:

Veamos ahora dos límites que podemos llamar especiales y que sonde gran utilidad al evaluar límitestrigonométricos:1.
Límite especial 1

Podemos deducir entonces que:

Ejemplo 1: Hallar el valor de

En esta función debemos aplicar la propiedad fundamental de los racionales que me permite hallar racionales equivalentes:

Multipliquemos numerador y denominador por 3:



Continuidad y Discontinuidad de una Función
Diremos que la funcion y= f(x) es continua de x=a si:
a. Existe f(a), es decir,f(x) esta definida en x=a
b. Existe el
c. Ambos valores coinciden, es decir f(a) =
Discontinuidades
se dice que una funcion y = f (x) es discontinua en x=a si no es continua es decir,no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad.
Clasificación de la discontinuidad de una función
La discontinuidad de una funcion puede ser clasificada

EVITABLE
Cuando existe el con pero nocoinciden con el valor de f(a) ya sea porque son distintos los valores o no existe f(a)
Ejemplo 1
Dadaa no existe f(2) pero si existe.

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe y este es finito
Nos encontramos con dos tipos de discontinuidad evitable:
1. La funcion no esta definida x = a



2. La imagen no coincide con el limite.

Cuando una funcion presenta unasicontinuidad evitable en un punto se puede redefinir en dicho punto para convertirla en una funcion continua.
Las dos funciones estudiadas anteriormente las definimos de modo que:

a) De alto: Cuando existe el limite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.
CON SALTO FINITO:
Cuando existe el limite por la derecha y por la izquierda ( siendo ambos finitos) pero nocoinciden.

salto discont. evitable
C) Asintotica: Cuando alguno de los limites laterales ( o ambos) no es infinite. Puede ser asintotica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
D) Esencial: Cuando no existe alguno de los limites laterales ( 0 ambos). Puede ser lo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados.
Si y = f(x) tiene discontinuidad evitable x = a, llamaremosverdadero valor de la funcion en x = a al . Dicho valor
Si y = f(x) tiene discontinuidad de salto en x = a, llamaremos salto de la funcion en x = a al valor


ASINTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

Asíntotas
Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definición más formales:
Definición
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
Si existe un número “a”tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:
es la asíntota vertical.
es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.

Asíntotas horizontales

Ejemplo
Calcular las asíntotas horizontales de la función:


Asíntotas verticalesConsideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.
K son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
Ejemplo
Calcular las asíntotas verticales de la función:






LIMITES TRIGONOMETRICOS
El llamado teorema de estricción, de intercalación, o del "sandwiche" es importante para la demostración de otros teoremas....