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Unidad 3: Trayectorias ortogonales e isogonales
Trayectoria Ortogonal

Una curva es una trayectoria ortogonal si forma un ángulo recto con cada una de
las curvas de una familia de curvas uniparametricas.
L a ecuacion diferencial de las trayectorias ortogonales sera:
F(x,y - 1/y') = 0
Ejemplo Hallar las trayectorias ortogonales a la familia x2 + (y - a)2 = a2
para hallar la E.D. se derivarespecto a x
2x+2(y - a)y' = 0 ---> despejamos a y queda a = y + x/y'
se sustituye en la ecuacion de la familia original y queda y' = 2xy/x2 - y2
Y resolviendo la ecuación diferencialpor el método mas conveniente obtenemos: x2 + y2 = C




Trayectoria Isogonal
Una curva es una trayectoria isogonal si corta a cada una de las curvas de una familia de curvas uniparametricas con un ánguloconstante.

la ecuacion diferencial de las trayectorias isogonales sera:
F(x,y,tan(beta+alfa) - tan alfa/1 + tan(beta + alfa) tan alfa) = 0


Ecuaciones diferenciales: El problema de la braquistócrona

5. La figura 1.4.11 muestra una cuenta deslizándose hacia abajo en un cuerda sin fricción del punto P al punto Q. El  problema de la braquistócrona  pregunta qué forma debe  tener la cuerda afin de minimizar el tiempo de deslizamiento para descender de P a Q. En junio de 1696, John Bernoulli propuso este problema como un reto para la comunidad científica, ofreciendo un plazo de seis meses (más tarde extendido a la Pascua de 1697 a petición de
George Leibniz). Isaac Newton, entonces retirado de la vida académica y sirviendo como alcalde de la Casa de Moneda en Londres, asumió el retode Bernoulli el 29 de enero de 1697. Al día siguiente comunicó su solución —la curva de descenso en el tiempo mínimo es un arco de cicloide invertida— a la Real Sociedad de Londres. Para una deducción moderna de este resultado, suponga que la cuenta inicia desde el reposo en el origen P y que y= y(x) es la ecuación de la curva deseada en un sistema de coordenadas con los puntos del eje y haciaabajo. Entonces, una analogía mecánica de la ley de Snell en óptica implica que:











Braquistócrona
2011-04-19
El problema de la braquistócrona es el de encontrar el camino más rápido entre dos puntos que puede seguir un cuerpo forzado a seguir dicho camino en presencia de un campo gravitatorio uniforme y constante y en ausencia de fricción. Este problema, propuesto por JohannBernoulli a finales del siglo XVII, supuso un excelente estímulo para el desarrollo de las técnicas del cálculo infinitesimal y el cálculo de variaciones.
A muchos estudiantes se les habla del problema de la braquistócrona y se les revela cuál es la solución sin entrar en detalles sobre cómo llegar a ella. Este artículo está dedicado a esas mentes curiosas que tienen las herramientas adecuadas ensus manos para resolver el problema, pero carecen todavía de la soltura adecuada para hacer un buen uso de ellas y necesitan un empujoncito. El rigor a veces brillará un poco por su ausencia y la notación será objeto de abuso, pero espero que los incautos lectores más exigentes en el terreno matemático sean misericordes.
Planteamiento del problema
La física de este problema es clásica y norelativista: son de aplicación las leyes del movimiento de Newton y el principio de relatividad de Galileo, el espacio es tridimensional y euclídeo y el tiempo sirve de etiqueta independiente.
Tenemos un cuerpo puntual y con masa, sometido a la atracción de un campo gravitatorio uniforme e invariable en el tiempo. Sostenemos el cuerpo en el borde de una rampa que conecta con un punto de destino que seencuentra más abajo. En un momento dado, soltamos el cuerpo y dejamos que se deslize sin rozamiento por la rampa bajo la acción de su propio peso. La pregunta es: ¿qué forma ha de tener la rampa para que el tiempo sea mínimo? La forma de esta rampa (la forma de la trayectoria) es la braquistócrona: la curva de descenso más rápido. Esta curva no es, en general, una línea recta. Al fin y al cabo,...