materiales

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Introducci´on al Algebra
Lineal
Juan Rada
Departamento de Matem´aticas
Facultad de Ciencias
Universidad de Los Andes
Primera versi´on: 19 de febrero del 2005
Segunda versi´on: 17 de junio del 2005

ii

´Indice general
Introducci´
on

V

1. Matrices
1.1. Definici´on y terminolog´ıa . . .
´
1.2. Algebra
de matrices . . . . . .
1.3. Sistemas de ecuaciones lineales
1.4.Matrices elementales . . . . . .
1.5. Equivalencia de matrices . . . .

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2. Espaciosvectoriales
2.1. El espacio de las n-uplas . . . . . . .
2.2. Espacios vectoriales . . . . . . . . .
2.3. Subespacios . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Subespacios generados . . . . . . . .
2.5. Independencia lineal y bases . . . . .
2.6. Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. El rango y la nulidad de una matriz

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3. Transformaciones lineales
3.1. Transformaciones lineales . . . . .. . . . .
3.2. El n´
ucleo y la imagen . . . . . . . . . . . .
3.3. Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Matriz asociada a una transformaci´on lineal
3.5. Cambio de base y semejanza de matrices . .

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4. Espacios con producto interno
75
4.1. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2. Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3. Operadores lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5. Determinantes
93
5.1.Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2. Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.3. Funciones n-lineales y alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
iii

iv

´INDICE GENERAL
5.4. La expansi´on de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5. La adjunta y la inversa de una matriz . . . . . . . . . . .. . . . 104

6. Diagonalizaci´
on
6.1. Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Diagonalizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Diagonalizaci´on unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducci´
on
El prop´osito de escribir este libro es presentar un texto introductorio de
´a´lgebra lineal para la asignatura Algebra
1 de la Licenciatura de Matem´aticas
en la Universidad de Los Andes. Est´a dirigido a estudiantes que por primera vez
estudian ´algebra lineal pero est´an familiarizados con los conceptos b´asicos de
vectores en el plano y en el espacio, estudiados previamente en cursos de c´alculo
y geometr´ıa anal´ıtica.
1.

Determinante del producto igual al productode determinantes puede ir
despu´es de las operaciones elementales?

2.

La exposici´on debe ser clean, direct and clear!

v

vi

´
INTRODUCCION

Cap´ıtulo 1

Matrices
1.1.

Definici´
on y terminolog´ıa

Comenzamos recordando el ´algebra de los n´
umeros complejos. El conjunto
de los n´
umeros complejos se denota por C y est´a formado por pares ordenados
(a, b), donde...