Mates 2N Ba

txBLOC I Àlgebra
Resolucions de l’autoavaluació del llibre de text
Pàg. 1 de 7

1

Resol i interpreta geomètricament els sistemes següents: ° x + 3y = 5 § a) ¢ 2x – y = 3 § £ x+ y=2 Resolució x + 3y = a) 2x – y = x+ y= 5° § 3 ¢ Resolem el sistema format per les equacions segona i tercera: § 2£ ° y + z – 2x = 0 § b) ¢ x + z – 2y = 0 § £ x + y – 2z = 0

2x – y = 3 ° 3x = 5 8 x = 5/3 ¢ x + y= 2 £ y = 2 – x ÄÄÄ8 y = 1/3 Comprovem si 5 1 +3· ?5 3 3 El sistema no té solució. Representa tres rectes que es tallen dues a dues. y + z – 2x = 0 ° ° x – 2y + z = 0 § § b) x + z – 2y = 0 ¢ Ordenem les incògnites i les equacions: ¢ x + y – 2z = 0 § § x + y – 2z = 0 £ £ –2x + y + z = 0 Per resoldre el sistema, apliquem el mètode de Gauss:
FILES FILES

( )

5 1 , 3 3

verifica la primeraequació:

(
2

1 –2 1 1 1 –2 –2 1 1

0 0 0

)

(1a) (2a) – (1a) (3a) + 2 · (1a)

(

1 –2 1 0 3 –3 0 –3 3

0 0 0

)

(1a) (2a) (3a) + (2a)

(

1 –2 1 0 3 –3 0 0 0

0 0 0

)

El sistema és compatible indeterminat. x – 2y + z = 0 ° x = –l + 2l = l ° x – 2y = –z 8 ¢ 8 ¢ 3y – 3z = 0 £ y= z y=l £ Solucions: (l, l, l).

Comprova que el sistema següent és compatibledeterminat. Troba’n la solució: ° –x + y + z = 1 § 4y + 3z = 2 § ¢ =1 § x + 2y § x + 3y + 2z = 1 £ Resolució Si el sistema és compatible determinat cal verificar que ran (M ) = ran (M' ) = 3, segons el teorema de Rouché. Com que M' és una matriu quadrada d'ordre 4, la seva determinant ha de ser igual a 0.
FILES

–1 0 | M' | = 1 1

|

1 4 2 3

1 3 0 2

1 2 = 1 1

|

(1a) (2a) (3a) + (1a)(4a) + (1a)

|

–1 0 0 0

1 4 3 4

1 3 1 3

1 2 = 0 perquè la segona i quarta fila són iguals. 2 2

|

BLOC I Àlgebra
Resolucions de l’autoavaluació del llibre de text
Pàg. 2 de 7

Podem eliminar l'última equació i resoldre el sistema per la regla de Cramer: –x + y + z = 1 ° § 4y + 3z = 2 ¢ § x + 2y = 1£

|
)

–1 1 0 4 1 2

1 3 =5 0 1 3 0 –1 1 0 4 1 2 5 1 2 1

|

x=

§1 2 1

1 4 2 5

1 3 0

§

=–

3 ; y= 5

§

–1 1 0 2 1 1 5

§

=

4 ; z= 5

§

§

=–

2 5

Solució: –

(

3 4 2 , , – . Representa quatre plans que es tallen en un punt. 5 5 5

3

Donades les matrius: A =

a) Calcula les matrius C i D sabent que AC = BD = I. x 1 b) Resol el sistema (C –1 – D–1) = . y 2 Resolució

( )

1 0– 2 3 iB= : 1 –5 3 1

() ()( )

a)

( )(
2 3 · 3 1

→

(

c1 c2 c3 c4

) ( )(
=

d d 1 0– 1 0 · d1 d2 = 1 –5 0 1 3 4

2c1 + 3c3 2c2 + 3c4 1 0 md1 .mmmmmd2.... 3c1 + c3m 3c2 + c40 = d1 – 5d3 d2 – 5d4 = 0 1 →

) (

) ( )

→

) ( )

–1 3 1 7 7 → C = 3 –2 ; D = 1 7 7 5

( ) ( )
0 –1 5

b) C1 =

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
9 3 1 0– – 3 1 1 –5 1 3 x 1 = y 2 → 8 3 x 1 = 2 6 y 2

( )

9 3 10– i D –1 = 3 1 1 –5

( )

 8x + 3y = 1 →   2x + 6y = 2

x=0iy=

BLOC I Àlgebra
Resolucions de l’autoavaluació del llibre de text
Pàg. 3 de 7

4

–y + 2m + 2 3 1 1 i B = (x, m), C = , D= ,E= . –2x – my + 5 1 5 9 a) Si (AB) (2C – D) = E, planteja un sistema de 2 equacions amb 2 incògnites (x i y) en funció de m. b) Per a quins valors de m té solució el sistema? Resol-lo. Siguinles matrius A = a) (AB) (2CD – D) = E 1 4x 3m 2 1 1 AB = (x, m) = ; 2C – D = – = 2 x m 10 9 9

( )

( )

( ) (

)

() ( ( )( ) (
A=

)

( ) () ()

 4x 3m 1 –y + 2m + 2 3x + 3m = – y + 2m + 2   8 3x + y = 2 – m  = 8 x m 9 –2x – my + 5 x + m = –2x – my + 5  3x + my = 5 – m 

)

b) El sistemà tindrà solució si ran (A) = ran (A') essent

( )
3 1 3 m

i A' =

(

3 1 3m

2–m 5–m

)

Busquem els valors de m que fan | A | = 0 8 3m – 3 = 0 8 m = 1 • Si m ? 1, ran (A) = ran (A') = 2 (nre. d’incògnites). El sistema és compatible determinat. • Si m ? 1, A =

( )
3 3

1 , ran (A) = 1. 1

5

a) Aïlla la matriu X en l’equació següent i troba’n el valor: 2A – AX = BX, essent A =

( )

2 1 1 –1 i B= . 3 2 0 2

( )

0 –1 0 b) Donada la matriu A = 1...