Mates Aplicades

EXERCICIS DE CONSOLIDACIÓ TEMA 8. APLICACIONS DE LES DERIVADES.

Exercici n. 1.-

Obtén l'equació de la recta tangent a la corba:




Solució:

· Ordenada en el punt: y (1) = 1

· Pendent de la recta:



Derivem:





y' (1) = 0

· Equació de la recta tangent:

y = 1




Exercici n. 2.-

Estudia el creixement i la curvatura de la funció següent.Troba'n els màxims, mínims i punts d'inflexió:




Solució:

· Derivada:







· Signe de f' (x):



f (x) és decreixent en (-¥, 0) È (1, +¥); és creixent en (0, 1). Té un mínim en (0, 1)


· Segona derivada:





· Signe de f '' (x):



f (x) és decreixent en (-¥; -1,12) È (1,79; +¥); és convexa en (-1,12; 1,79). Té dos punts d'inflexió:(-1,12; 0,03) i (1,79, -1,99)




Exercici n. 3.-

El costat d'un quadrat té una longitud de 4 metres. Entre tots els quadrats inscrits en el quadrat donat, troba el d'àrea mínima:


Solució:



Si anomenem x la distància d'un dels vèrtexs del quadrat inscrit, al vèrtex més pròxim del quadrat original (com indica la figura), tenim que l'àrea del quadrat inscrit serà:

Àrea = l 2 =x2 + (4 - x)2; 0 £ x £ 4

Busquem x per tal que l'àrea sigui mínima:

A (x) = x2 + (4 - x)2

A' (x) = 2x + 2(4 - x) · (-1) = 2x - 8 + 2x = 4x - 8

A' (x) = 0 ® 4x - 8 = 0 ® x = 2

Comprovem que és el mínim:

A'' (x) = 4, A'' (2) = 4 > 0 ® en x = 2 hi ha mínim

A (0) = A (4) = 16

Per tant, el mínim s'aconsegueix en x = 2, que correspon al quadrat de costat:i que la seva àrea és de 8 m2.


Exercici n. 1.-


x0 = -1.


Solució:

· Ordenada en el punt: f (-1) = 1

· Pendent de la recta:



f ' (-1) = -4

· Equació de la recta tangent:

y = 1 - 4 (x + 1) ® y = -4x - 3




Exercici n. 2.-

Estudia els intervals de creixement i els màxims i mínims de la funció:




Solució:

· Domini = R; ja queex > 0 per a tot x.

· Derivada:





· Signe de f ' (x):



f (x) és decreixent en (-¥, 0) È (1, +¥); és creixent en (0, 1). Té un mínim en (0, 1)





Exercici n. 3.-

La hipotenusa d'un triangle rectangle fa 1 dm. Fem girar el triangle al voltant d'un dels seus catets. Determina la longitud d'aquests catets de manera que el con engendrat d'aquesta forma tinguivolum màxim.


Solució:



Si anomenem x i y les longituds de cada un dels catets, sabem que:

x2 + y2 = 1 ® y2 = 1 - x2

El volum del con és:



Busquem x per tal que el volum sigui màxim:





Vegem què és un màxim:



Per tant, el màxim s'aconsegueix quan els catets mesuren:






Exercici n. 2.-

Troba els màxims, mínims i punts d'inflexió de la funció:f (x) = (x - 2)3 (x + 1)

Digues on és creixent, decreixent, còncava i convexa.


Solució:

· Derivada:

f ' (x) = 3(x - 2)2 (x + 1) + (x - 2)3 = (x - 2)2 (3x + 3 + x - 2) = (x - 2)2 (4x +1)



· Signe de f ' (x).







· Segona derivada:

f '' (x) = 2(x - 2) (4x + 1) + (x - 2)2 · 4 = (x - 2) (8x + 2 + 4x - 8) = (x - 2) (12x - 6)



· Signe de f '' (x).Exercici n. 3.-

Un transportista va d'una ciutat A a una altra B a una velocitat constant de x km/h per una carretera en la qual s'ha de complir que 35 £ x £ 55. El preu del carburant és de 0,6 euros el litre i el consum és de 10 + x2/120 litres per hora. El conductor cobra 8 euros per hora i la distància entre A i B és de 300 km. Troba la velocitat a la qual ha d'anarperquè el viatge resulti el més econòmic possible.


Solució:

La velocitat és x km/h i la distància és de 300 km; per tant, com que x és constant,






A més, ha de ser 35 £ x £ 55.

Busquem x per tal que C (x) sigui mínim:






Vegem què és un mínim:



C''(52,92) > 0 ® en x = 52,92 hi ha un mínim

C (35) = 172,5 euros; C (52,92) = 158,75...