Mates t6

6
Pàgina 153

PUNTS, RECTES I PLANS EN L’ESPAI

REFLEXIONA I RESOL Punts alineats en el pla
■

Comprova que els punts A (5, 2), B (8, 3) I C (13, 5) no estan alineats.

C (13, 5) B (8, 3) A (5, 2)

AB = (3, 1); BC = (5, 2) No tienen las coordenadas proporcionales; luego no están alineados.

8

8

■

Troba el valor de n perquè el punt D (9, n) estigui alineat amb els punts A iB del gràfic anterior. AB = (3, 1); BD = (1, n – 3) AB = k · BD 8 (3, 1) = k (1, n – 3) 8 8 k=3 1 10 ° 8 n= ¢ 8 1 = 3(n – 3) 8 n – 3 = 3 3 1 = k (n – 3) £
8 8 8 8

Unitat 6. Punts, rectes i plans en l’espai

1

Rectes en el pla
■

Per a trobar les equacions paramètriques de la recta r que apareix a conti8 8 nuació, pren el vector p (1, 4) per a situar-t’hi i el vector d (5, 2) per alliscar-hi. Troba’n també l’equació implícita.

Ecuaciones paramétricas: ° x = 1 + 5l ¢ £ y = 4 + 2l

Ecuación implícita: –2x = –2 – 10l 5y = 20 + 10l –2x + 5y = 18 8 2x – 5y + 18 = 0

■

Troba les equacions paramètriques i implícites de la recta s. La recta s pasa por el punto (–1, 0) y tiene la dirección del vector d (1, –1). Ecuaciones paramétricas: ° x = –1 + l ¢ £ y = –l Ecuaciónimplícita: Sumando las dos anteriores: x + y = –1 8 x + y + 1 = 0
8

Pàgina 154
1. Representa els punts següents: P (5, 2, 3), Q (3, –2, 5), R (1, 4, 0), S (0, 0, 4) y T (0, 6, 3). P (5, 2, 3) Q (3, –2, 5) R (1, 4, 0) S (0, 0, 4) T (0, 6, 3)

2

Unitat 6. Punts, rectes i plans en l’espai

UNITAT

6

2. Situa sobre uns eixos de coordenades un punt P. Projecta’l, P', sobre el pla XY. Segueixel procés fins a determinar les coordenades de P. (Observa que l’únic pas no determinat és decidir la situació de P' ). P (3, 5, 2)

Pàgina 156
1. Calcula m i n perquè els punts P (7, –1, m), Q (8, 6, 3) i R (10, n, 9) estiguin alineats. PQ (1, 7, 3 – m ), QR = (2, n – 6, 6) P, Q, R están alineados 8 PQ // QR 8 n–6 = 2 8 n = 20 7 Luego m = 0 y n = 20. 2. Troba les coordenades dels punts mitjansdels costats del triangle de vèrtexs A (1, –3, 5), B(0, 7, 2) i C (–1, 5, 6). C' =
8 8 8 8

2 n–6 6 = = 1 7 3–m

6 =2 8 m=0 3–m

( ( (

1 + 0 –3 + 7 5 + 2 1 7 , , = , 2, 2 2 2 2 2 0–1 7+5 2+6 1 , , = – , 6, 4 2 2 2 2

) (

) )

A' =

) (

)

B' =

1 – 1 –3 + 5 5 + 6 11 , , = 0, 1, 2 2 2 2

) (

3. Donats els punts A (–3, 5, 11) i B (3, 5, –1): a) Troba el punt mitjà delsegment AB. b) Troba el simètric de B respecte de A. — — c) Obtén un punt M de AB tal que AM = 2MB . — — d) Obtén un punt N de AB tal que NB = 3AN. a) MAB =

(

–3 + 3 5 + 5 11 – 1 , , = (0, 5, 5) 2 2 2

)

Unitat 6. Punts, rectes i plans en l’espai

3

b) Sea B' (a, b, g) el simétrico de B respecto de A. Así:

3+a — = –3 8 a = –9 2 5+b —=5 8 b=5 2 –1 + g — = 11 8 g = 23 2 c) Sea M(x, y, z):

° § § § § ¢ B' (–9, 5, 23) § § § § £

(x + 3, y – 5, z – 11) = 2(3 – x, 5 – y, –1 – z) 8 x + 3 = 6 – 2x 8 y – 5 = 10 – 2y z – 11 = –2 – 2z d) Sea N (x, y, z): ° § ¢ 8 x = 1, y = 5, z = 3 8 M (1, 5, 3) § £

(3 – x, 5 – y, – 1 – z) = 3(x + 3, y – 5, z – 11) 8 3 – x = 3x + 9 8 5 – y = 3y – 15 –1 – z = 3z – 33 ° § –3 –3 , y = 5, z = 8 8 N , 5, 8 ¢ 8 x= 2 2 § £

(

)

Pàgina157
1. Troba les equacions paramètriques de les rectes que passen per: a) A (2, 0, 5) y B (–1, 4, 6) b) M (5, 1, 7) y N (9, –3, –1) c) P (1, 0, –3) y Q (1, 4, –3) d) R (0, 2, 3) y S (0, 2, 1) a) Vector dirección: AB = (–3, 4, 1) ° x = 2 – 3l § Ecuaciones paramétricas: ¢ y = 4l § £z = 5 + l
Unitat 6. Punts, rectes i plans en l’espai
8

4

UNITAT
8

6

b) Vector dirección: MN = (4, –4,–8) // (1, –1, –2) °x = 5 + l § Ecuaciones paramétricas: ¢ y = 1 – l § £z = 7 – 2 l c) Vector dirección: PQ = (0, 4, 0) °x = 1 § Ecuaciones paramétricas: ¢ y = 4l § £ z = –3 d) Vector dirección: RS = (0, 0, –2) °x = 0 § Ecuaciones paramétricas: ¢ y = 2 § £z = 3 – 2 l
8 8

Pàgina 159
2. Obtén les equacions paramètriques, l’equació en forma contínua i les equacions implícites de la recta que...