Mates

Fonaments de Matem`tiques 1 a

Enginyeria en Tecnologies Industrials

6
6.1

Equacions diferencials de segon ordre
Resoluci´ o
a) x + x − 6x = 0 b) x − 4x + 4x = 0 c) x − 9x + 20x = 0 d) x + 8x = 0 e) x + 2x + x = 0 f) 2x + 2x + 3x = 0 2. En funci´ dels valors del par`metre q, estudieu la soluci´ general de l’equaci´ o a o o x + 2x + qx = 0 ılia 3. Donada la fam´ de corbes x(t) = C1 et +C2 e2t , determineu C1 i C2 de manera que la corba corresponent compleixi x(0) = 1 i x (0) = −2. 4. Trobeu les solucions dels seg¨ents problemes de valor inicial. u a) x − 2x + 5x = 0, x(0) = 0, x (0) = 1. b) x − 6x + 13x = 0, x(0) = x (0) = 0. 5. Considereu l’equaci´ diferencial x (t) + m x (t) + x(t) = 0, on m ´s un par`metre real. o e a a) Per a quin valor de m, la soluci´ x(t) de l’equaci´diferencial ´s peri`dica? Quin o o e o ´s el per´ e ıode en aquest cas? b Per a quin valor de m es compleix que lim x(t) = 0?
n→∞

1. Trobeu la soluci´ general de cadascuna de les equacions seg¨ents: o u

6. Escriviu en forma de amplitud i fase la soluci´ dels problemes de valor inicial seg¨ents: o u √ b) x + 2x = 0, x(0) = −1, x (0) = −2 2. 7. Trobeu una soluci´ particular de cadascuna de lesequacions seg¨ents: o u a) x + 3x − 10x = 6e4t b) x − 2x = 6 c) x + 10x + 25x = 14e−5t d) x + 4x = 3 sin(t) e) x + 4x = − cos(2t) a)
1 x 2

+ 8x = 0, x(0) = 1, x (0) = −2.

37

Fonaments de Matem`tiques 1 a

Enginyeria en Tecnologies Industrials

8. Trobeu la soluci´ general de cadascuna de les equacions seg¨ents: o u a) x − 3x = sin(3t) b) x − 2x = et c) x − x − 6x = 2e−2t d) x − 2x +x = 3tet e) x + 9x = e3t f) x − 2x + 5x = 25t2 + 12 g) x − 2x + 5y = et sin(2t) 9. Doneu l’EDO lineal de segon ordre que t´ per soluci´ general: e o a) x = C1 e2t + C2 e−t + sin t b) x = C1 et + C2 tet + t2 + 1 10. Comproveu que l’equaci´ x − 2x − 3x = 64te−t t´ una soluci´ particular de la forma o e o 2 −t xp (x) = (At + Bt + C)e , i trobeu-ne la soluci´ general. o o u o 11. Trobeu la soluci´ dela seg¨ent equaci´ amb condicions inicials x(0) = x (0) = 0, x − 6x + 13x = e−t cos t. 12. Resoleu els seg¨ents problemes de valor inicial: u a) x + x − 2x = t + 2 amb x(0) = 0 i x (0) = 0. b) x − 2x + x = 3 cos(t) amb x(0) = 1 i x (0) = −1. c) x + 6x + 9x = e3t amb x(0) = 1 i x (0) = 0. d) x + 9x = 7 sin(3t) amb x(0) = 0 i x (0) = 2. 13. Si x1 (t), x2 (t) s´n, respectivament, solucions de o x +P (t)x + Q(t)x = R1 (t) x + P (t)x + Q(t)y = R2 (t), proveu que x(t) = x1 (t) + x2 (t) ´s una soluci´ de e o x + P (t)x + Q(t)x = R1 (t) + R2 (t). Aix` es coneix com a principi de superposici´. Useu aquest principi per trobar la o o soluci´ general de o x + 4x = 6 cos(t) + 8t2 − 4t

38

Fonaments de Matem`tiques 1 a

Enginyeria en Tecnologies Industrials

6.2

Modelitzaci´ o
1 C
t1. Segons la llei de Kirchhoff, la intensitat i(t) en un circuit RLC ve donada per l’equaci´ o Li (t) + Ri(t) + i(x) dx = E(t),
0

on L ´s la induct`ncia, C la capacitat del condensador, R la resist`ncia i E(t) la e a e for¸a electromotriu. Calculeu com varia la intensitat en funci´ del temps en un circuit c o RLC per al qual L = 1 henry, R = 3 ohms i C = 0.5 farads, quan apliquem una for¸aelectromotriu de la forma E(t) = e−t/2 cos(t). Preneu com a condicions inicials c i(0) = i (0) = 0. 2. Tenim un cos de massa m enganxat a un ressort flexible que penja d’un suport r´ ıgid. Volem determinar el moviment d’aquest sistema mec`nic. Sigui y(t) el despla¸ament a c

s0 Sense estirar Posici´ o d’equilibri mg = ks0

y=0 y(t)

Moviment

del cos des de la seva posici´ d’equilibri est`tic,i prenem com a sentit positiu el o a moviment cap avall. Segons la llei de Hooke, el ressort exerceix una for¸a de restituci´ oposada a la direcci´ c o o de l’allargament i proporcional a la llargada del despla¸ament. Sabent que en la posici´ c o d’equilibri aquesta for¸a i el pes es compensen, c a) Dedu¨ que l’equaci´ del moviment ´s my + ky = 0 (moviment lliure no ıu o e esmorte¨ k ´s la...