Mates

PROBLEMAS RESUELTOS
SELECTIVIDAD ANDALUCÍA
2006

MATEMÁTICAS II
TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO



Junio, Ejercicio 4, Opción A



Junio, Ejercicio 4, Opción B



Reserva 1, Ejercicio 3, Opción A



Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A



Reserva 1, Ejercicio 4, Opción B



Reserva 2, Ejercicio 4, Opción A



Reserva 2, Ejercicio 4, Opción B



Reserva 3,Ejercicio 4, Opción A



Reserva 3, Ejercicio 4, Opción B



Reserva 4, Ejercicio 4, Opción A



Reserva 4, Ejercicio 4, Opción B



Septiembre, Ejercicio 4, Opción A



Septiembre, Ejercicio 4, Opción B

http://emestrada.wordpress.com

Considera el plano π de ecuación 2 x + y − z + 2 = 0 y la recta r de ecuación

x−5
z−6
= y=
m
−2

a) Halla la posiciónrelativa de r y π según los valores del parámetro m.
b) Para m = −3 , halla el plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π .
c) Para m = −3 , halla el plano que contiene a la recta r y es paralelo al plano π .
MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN A.

RESOLUCIÓN
 x + 2y = 5
x−5
z −6
=y=
⇒
−2
m
mx + 2 z = 12 + 5m
2 x + y − z = −2


x + 2y = 5
Estudiamosel sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano

mx + 2 z = 12 + 5m 


a) Podemos pasar la ecuación de la recta r a implícitas

2

1 −1

A=1 2
m0

0 = 6 + 2m = 0 ⇒ m = − 3
2

R(A)

R(M)

m = −3

2

3

Recta paralela al plano.

m ≠ −3

3

3

Recta secante al plano.

b) La ecuación de todos los planos que contienen a la recta r es:
x + 2 y − 5 +k (−3 x + 2 z + 3) = 0 ⇒ (1 − 3k ) x + 2 y + 2k z − 5 + 3k = 0
El vector normal de este plano (1 − 3k , 2, 2k ) y el vector normal del plano π (2,1, −1) , tienen que
ser perpendiculares, luego su producto escalar vale 0.

(1 − 3k , 2, 2k ) ⋅ (2 ,1, − 1) = 0 ⇒ 2 − 6k + 2 − 2k = 0 ⇒ k =

1
2

Sustituyendo, tenemos que el plano pedido es: − x + 4 y + 2 z − 7 = 0
c) La ecuación de todos losplanos que contienen a la recta r es:
x + 2 y − 5 + k (−3 x + 2 z + 3) = 0 ⇒ (1 − 3k ) x + 2 y + 2k z − 5 + 3k = 0
El vector normal de este plano (1 − 3k , 2, 2k ) y el vector normal del plano π (2,1, −1) , tienen que
ser paralelos, luego sus componentes tienen que ser proporcionales.
1 − 3k 2 2k
==
⇒ k = −1
2
1 −1
Sustituyendo, tenemos que el plano pedido es: 4 x + 2 y − 2 z − 8 = 0x + y − z − 3 = 0
Considera el punto P ( 3, 2, 0) y la recta r ≡ 
 x + 2z + 1 = 0
a) Halla la ecuación del plano que contiene a P y a la recta r.
b) Determina las coordenadas del punto Q simétrico de P respecto de la recta r.
MATEMÁTICAS II. 2006. JUNIO. EJERCICIO 4. OPCIÓN B.

RESOLUCIÓN
a) La ecuación del haz de planos que contiene a la recta r es: x + y − z − 3 + k ( x + 2 z + 1) =0 . De
todos esos planos nos interesa el que pasa por el punto P (3, 2, 0) , luego:
1
3 + 2 − 0 − 3 + k (3 + 0 + 1) = 0 ⇒ k = −
2
por lo tanto, el plano pedido tiene de ecuación:
1
x + y − z − 3 − ( x + 2 z + 1) = 0 ⇒ x + 2 y − 4 z − 7 = 0
2
b) El punto Q simétrico del punto P respecto de la recta r, está situado en un plano que pasando por el
punto P es perpendicular a r y además ladistancia que hay desde el punto P a la recta r es la misma
que la que hay desde el punto Q hasta dicha recta.
P

M

Q

 x = −1 − 2t
x + y − z − 3 = 0

⇒ r ≡  y = 4 + 3t
Pasamos la ecuación de la recta a forma paramétrica r ≡ 
 x + 2z + 1 = 0
z = t

Calculamos la ecuación del plano que pasando por el punto P es perpendicular a r. Como la recta es
perpendicular al plano, elvector director de dicha recta y el vector normal del plano son paralelos,
luego: Vector normal del plano = vector director de la recta = (−2,3,1)
La ecuación de todos los planos perpendiculares a dicha recta es: −2 x + 3 y + z + D = 0 . Como
nos interesa el que pasa por el punto P (3, 2, 0) : −2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 0 + D = 0 ⇒ D = 0 ⇒ −2 x + 3 y + z = 0
Calculamos las coordenadas del punto de...