mates

Cap´
ıtulo 1
L´gica
o
En este tema daremos una breve introducci´n a la l´gica. En cualquier
o
o
disciplina cient´
ıfica, se necesita distinguir entre argumentos v´lidos y no v´a
a
lidos. Para ello, se utilizan, a menudo sin saberlo, las reglas de la l´gica.
o
Algunas de ellas las estudiaremos en este tema. Utilizaremos estas t´cnicas
e
en las demostraciones de cualquiera de losrazonamientos matem´ticos e ina
form´ticos que nos vamos a encontrar. Es interesante destacar que, en ning´n
a
u
caso, debemos recurrir a la aplicaci´n mec´nica de tales reglas, sino que, en
o
a
cada situaci´n, hemos de tratar de analizar y comprender el razonamiento
o
planteado.
Con un n´mero finito de palabras y de construcciones gramaticales, se
u
pueden construir una infinidad de frases.De la misma forma, con un n´meu
ro finito de proposiciones y conectores l´gicos, se pueden construir infinitos
o
razonamientos. La l´gica de proposiciones tiene que elaborar m´todos lo suo
e
ficientemente potentes para tratar cualquiera de estos razonamientos.

1.1.

Proposiciones

Diremos que una proposici´n o enunciado es una oraci´n declarativa de
o
o
la que puede decirse si esverdadera o falsa pero no ambas cosas a la vez;
es decir, a la que le asignaremos uno y uno s´lo de los valores de verdad:
o
verdadero (1) o falso (0), sin ambiguedades como en los lenguajes naturales.
Ejemplo 1. Los siguientes enunciados son proposiciones:
S´neca fu´ un fil´sofo. (1)
e
e
o
Arist´teles fue presidente de E.E.U.U.(0)
o
El Deportivo gan´ la ultima liga de f´tbol profesional. (0)o ´
u
1

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

2
2 + 2 = 4 (1)
2 + 4 = 7 (0),

Ejemplo 2. Los siguientes enunciados no son proposiciones:
Ojal´ llueva.
a
x+3=4
x = −x
Paradoja del barbero: En un pueblo, el barbero afeita a todos los hombres
que no se afeitan a s´ mismos (y unicamente a ellos)
ı
´
El barbero se afeita a s´ mismo.
ı
El enunciado no puede ser verdadero ya que si elbarbero se afeitase a s´
ı
mismo, no formar´a parte del grupo de hombres que ´l afeita. Por otro
ı
e
lado, no puede ser falso ya que, en ese caso, el barbero no se afeitar´
ıa
a s´ mismo y entonces deber´a ser afeitado por el barbero.
ı
ı
El c´lculo proposicional es el estudio de las relaciones l´gicas entre las
a
o
proposiciones. Su objetivo es, por una parte, estudiar la validez deargumentos
y, por otro lado, la formalizaci´n de argumentos del lenguaje natural.
o
Distinguiremos dos tipos de lenguaje:
Lenguaje objeto, que es el lenguaje formal de la l´gica que estudiao
mos.
Metalenguaje, el idioma donde discutimos el lenguaje formal.

1.2.

Operaciones L´gicas
o

Sintaxis Las proposiciones anteriores suelen designarse con letras min´su
culas p, q, r, etc y sedenominan primitivas (simples) ya que no hay forma de
descomponerlas en otras m´s simples. Para obtener nuevas proposiciones llaa
madas compuestas se utilizan los conectivos u operadores l´gicos. Los valores
o
de verdad de las proposiciones resultantes depender´n de los valores de vera
dad de las proposiciones componentes. Nosotros utilizaremos, como s´
ımbolos,
{¬, ∧, ∨, →, ↔}.

´
1.2.OPERACIONES LOGICAS

3

Negaci´n ¬p. Se lee “no p; no ocurre p; no es cierto p”.
o
p
0
1

¬p
1
0

Conjunci´n p ∧ q. Se lee “p y q; p sin embargo q; p no obstante q”.
o
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∧q
0
0
0
1

Disyunci´n p ∨ q. Se lee “p o q, al menos p o q; como m´
o
ınimo p o q”
(inclusivo).
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p∨q
0
1
1
1

Condicional p → q. Se lee“Si p, entonces q; p es suficiente para q; q
es necesario para p; q siempre que p ; p s´lo si q; q si p.”
o
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p→q
1
1
0
1

Bicondicional p ↔ q. Se lee “p, si, y s´lo si, q; p es necesario y sufio
ciente para q”.
p
0
0
1
1

q
0
1
0
1

p↔q
1
0
0
1

´
CAP´
ITULO 1. LOGICA

4

Hay que hacer notar que el sentido de los conectores no...