Mates

← |Generalitat de Catalunya
Departament d’Educació
INS de FLIX
DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES | |

Aritmètica i Àlgebra

[pic]

Els nombres reals

El conjunt dels nombres naturals

Els nombres naturals sorgeixen de la necessitat de comptar o d'ordenar. Aquest conjunt es simbolitza amb la lletra N

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

Es representen sobre una recta i procedirem així:• prenem un segment unitat, AB, amb extrems A i B ;

• fem correspondre l'1 a l'extrem B ;

• traslladem cap a la dreta el segment AB i marquem els nombres 2, 3, 4, .. allà on es situa l'extrem B

Amb aquests nombres podem sumar i multiplicar.

El conjunt dels nombres enters

Per representar el resultat de qualsevol resta cal ampliar el conjunt N amb un nou conjunt de nombres: els nombres enters.

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }

Es representen sobre una recta on tenim col·locats els nombres naturals. Fem correspondre el nombre 0 amb l'extrem A del segment AB.

Traslladant cap a l'esquerra AB obtindrem els nombres enters -1, -2, -3, ...allà on es situa l'extrem A.

Amb aquest conjunt podem sumar, restar i multiplicar.

El conjunt dels nombresracionals

En el conjunt dels nombres enters la divisió no sempre és possible. Cal ampliar el conjunt dels nombres enters al conjunt dels nombres racionals. Simbolitzem aquest conjunt amb la lletra Q.

Un nombre racional està format per una fracció ( divisió indicada de dos enters ) i les seves fraccions equivalents. Cadascuna d'aquestes fraccions equivalents és un representant del nombreracional. La fracció irreductible de denominador positiu és el representant canònic del nombre racional.

Exemple:
|nombre racional |
|representants |representant canònic |
|[pic] |[pic]|

Els nombres racionals també es poden representar mitjançant punts sobre una recta. Donat un nombre racional aquest pot ser:

• més petit que 1, per exemple, [pic], es divideix el segment unitat en 5 parts ( aplicant el teorema de Tales ) i triem 3 d'aquestes.

més gran que 1, per exemple, [pic], en aquests cas fem primer la divisió: 7 31 2
per tant 7 = 3 · 2 + 1, [pic]= [pic]= 2 +[pic]. Per representar [pic] es prenen dues unitats i es divideix la unitat següent en tres parts i d'aquestes se'n pren una.

Tot nombre racional es pot expressar en forma decimal. S'obté dividint el numerador pel denominador. Les diverses situacions que es poden donar quan transformem una fracció en nombre decimal són:divisió exacta: el numerador és múltiple del denominador, es tracta d'un nombre enter. Exemple: [pic] = 4
decimal exacte: després d'uns quants decimals la divisió s'acaba. Exemple: [pic] = 2,425
decimal periòdic pur: després de la coma decimal apareix una xifra o un grup de xifres que es repeteix indefinidament. Exemple: [pic]= 1,185185185...
decimal periòdic mixt: després de la coma decimal id'algunes altres xifres apareix un dígit o un grup de dígits que es repeteix indefinidament. Exemple: [pic]=0,8636363...

De la mateixa manera, qualsevol nombre decimal periòdic o exacte admet una representació com a fracció, és a dir, com a nombre racional. Es tracta de trobar la fracció generatriu.

|decimal exacte |fracció generatriu ||0,0012 |[pic] = [pic] |
| |
|decimal periòdic pur |fracció generatriu |
|7,333333333333... |[pic] = [pic] = [pic] |
|...