Mates

MATEMÁTICAS II
1.

1 - ESPACIO EUCLIDEO

Haz un estudio topológico completo de los siguientes conjuntos de  2 :
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

{
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 

}
/ y > x , x + y < 2}

A = ( x , y) ∈  2 / x 2 + y2 < 1, x ≤ 0 ∪ {(1, 0)}
2

2

}

2

/ x 2 +( y − 2)2 ≤ 4, y > 2, xy ≤ 4

2

/ x 2 + y2 ≤ 2 x , y ≤ x ∪ {(0, 0)}

2

2

2

2

}

}{
}
/ x ≥ y } ∩ {( x , y) ∈  / 1 + y ≤ x }
/ xy < 0, y < −2 x } ∪ {(0, 0), (1,1)}
/ ( x + 2) + ( y − 1) ≤ 9, y < x + 1}
/ x ≥ y 2 ∪ ( x , y) ∈  2 / 1 + y ≤ x
2

2

2

2

2

{

}{

2.

Calcula la frontera del conjunto A = ( x , y) ∈  2 / 3x 2 y > 0 ∪ ( x , y) ∈  2 / y ≥ 2x 2

3.

¿Para qué valores de a son ortogonales los vectores (a,-2,5) y (-a,3,a)?

4.

Calcula un vector que sea ortogonal a los vectores u=(1,0,1) y v=(1,1,1)

5.

}

Determina la norma de los siguientes vectores:
a)

b)

(-1,-1)

c)

(1,1,1)

d)
6.

(3,4)
(1,2,3)

e)

(1,2,3,4)

f)

(3,0,0,0)

Determina el ángulo que forman los siguientes pares de vectores:a)

(1,0) y (2,2)

b)

(1,1,0) y (1,2,1)

c)

(1,0,0,0) y (1,1,1,1)

d)

(2,0) y (0,5)

7.

Estudia si los puntos (2,3) y (3,5) pertenecen a la bola de centro (1,2) y radio 2

8.

Estudia si los puntos (3,1,2) y (-5,3,3) pertenecen a la bola de centro (1,-1,1) y radio 5

9.

Estudia si los puntos (-4,-1), (0,2) y (6,4) están en el segmento que une (-6,-2) y (4,3)Academia JUAN FLÓREZ

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10.

Estudia si los puntos (-3,2,0) y (0,1,0) están en el segmento que une (1,2,-2) y (-5,2,1)

11.

Estudia si los siguientes conjuntos son convexos:

h)

{
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 
A = {( x , y) ∈ 

i)

Puntos de  2 cuya 1ªcoordenada es distinta de 3.

j)

Puntos de  2 tales que el producto de sus coordenadas es menor que -3.

k)

Puntos de  2 tales que el producto de sus coordenadas es mayor o igual a 0.

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

12.

}
/ y − x + 4 x ≥ 1}
/ y − x + 4 x ≤ 1}
/ y − x + 4 x = 1}
/ 4 x − 6 y = 3}

A = ( x , y) ∈  2 / x > 0, x + y ≤ 3
2

2

2

2

2

2

2

}

2/ x 2 + y2 ≥ 10 x , y ≥ 0

2

/ y ≤ −6

2

/ 4 x 2 − y2 ≥ 0

}
}

Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a)

Si A es abierto, entonces no tiene frontera

b)

Si A no es abierto, entonces es cerrado

c)

A ∩ B es cerrado, entonces A y B son cerrados

d)

A ∩ B es abierto, entonces A y B son abiertos

e)

Un punto es aislado es punto fronteraf)

Un punto adherente es frontera

g)

Un punto frontera es adherente

h)

Un punto interior es punto de acumulación

i)

Un conjunto formado por un solo punto es cerrado

j)

Un conjunto cerrado no tiene puntos aislados

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SOLUCIONES

{

}{

}{

1f) A = ( x , y) ∈  2 / x ≥ y2 ∩ ( x , y) ∈  2 / 1+ y ≤ x = ( x , y) ∈  2 / x ≥ y2 ,1 + y ≤ x

}

NOTA: La intersección de 2 conjuntos son los puntos que están en los 2 conjuntos al mismo
tiempo, o lo que es lo mismo, que cumplen las ecuaciones de los 2 conjuntos. Es por eso que una
intersección se puede poner como un conjunto que cumple TODAS las ecuaciones.

{

Int( A ) = ( x , y) ∈  2 / x > y2 ,1 + y < x

{

A = ( x , y) ∈  2/ x ≥ y2 ,1 + y ≤ x

{

}

}

}{

Fr ( A ) = ( x , y) ∈  2 / x = y2 ,1 + y ≤ x ∪ ( x , y) ∈  2 / 1 + y = x , x ≥ y2

}

Ais( A ) = ∅
A′ = A − Ais( A ) = A
o

A no es abierto pues A ≠ A
A es cerrado pues A = A
A no es acotado pues A ⊂ B(a , r )
A no es compacto pues no es acotado
A es convexo

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