mates

Tema 2
Matrices e aplicacións lineais

Matrices
• Que é unha matriz?

 a11

 a21
A=
 M

• Se m≠n, A é unha matriz  am1

rectangular de orde
mxn
• Se m=n, A é unha matrizcadrada de orde n

a12
a22

a13
a23

am 2

am 3

L a1n 

a2 n 
O M 

K amn 

 1 0 − 1


2 0 3

 4 −2 5 



a23
a33

Tipos de matrices
Trasposta dunha matriz a11

 a21
A=
 M

 am1

a12

a13

a22

a23

am 2

am 3

L a1n 

a2 n 
O M 

… amn 

A2Mmxn ) At2Mnxm

a
L a 
a
11
21
m1 

a 
t =  a12 a22
m2 A 
O
 M

a


a
L a 
2n
mn 
 1n

(At)t = A

Matrices triangulares
2

0
0


1
−1
0

3 

4 
− 2


 −1 0 0

 2 3 0
 −1 −4 2

 1 0 −1

0
0
0

2

Triangular superior
Triangular inferior

 1 2 − 2


2 3 6

−2 6 5 



 0 2 3


− 2 0 − 5

 −3 5 0 



Matriz simétrica

aij = aji i, jA = At

Matriz antisimétrica

aij = -aji  i, j
A = - At

 a11 K 0 


M O M 

 0 L a 
mn 

1

I3 =  0
0


0
1
0

0

0
1


Matriz diagonal
aij = 0i ≠ j

Matriz identidade
de orde 3

Operacións con matrices
Suma: sexan A, B  Mmxn
 a11

 a21
A+ B=
 M

 am1

L a1n   b11 b12
 
a2 n   b21 b22
+
  M
O M
 
am2 K amn   bm1 bm 2
 a11 + b11 a12 + b12 L

 a21 + b21 a22 + b22
=

M
O

 am1 + bm1 am 2 + bm 2 K
a12
a22

L b1n 

b2 n 
=

O M

K bmn 
a1n + b1n 

a2 n + b2 n 
M

amn + bmn 

Só se poden sumar matrices do
mesmo tamaño
Exemplo

Produto dunha matriz por un número
Dada unha matriz A  Mmxn e un escalar   R, o produto
A é:

 α a11 α a12 Lα a1n 

α a21 α a22
α a2 n 
α A= 
 M

O


 α am1 α am 2 K α amn 

 1 4 1
α = − 2, A = 
,
 2 0 3

 − 2 − 8 − 2
α A= 

 − 4 0 − 6

Produto de matrices...