mates

1
1

LÍMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
Y RAMAS INFINITAS

Página 273
REFLEXIONA Y RESUELVE
Aproximaciones sucesivas
■

Comprueba que:
f (4) = 6,5; f (4,9) = 6,95; f (4,99) = 6,995

■

Calcula f (4,999); f (4,9999); f (4,99999); …

■

A la vista de los resultados anteriores, ¿te parece razonable afirmar que,
cuando x se aproxima a 5, el valor de f (x) se aproxima a 7? Loexpresamos
así: lím f (x) = 7
x85

Si f (x) =

x 2 + 4x – 45
, entonces:
2x – 10

f (4,999) = 6,9995; f (4,9999) = 6,99995; f (4,99999) = 6,999995
lím f (x) = 7

x85

■

x 2 + 6x – 27
Calcula, análogamente, lím
.
2x – 6
x83
f (2) = 5,5; f (2,9) = 5,95; f (2,99) = 5,995; f (2,999) = 5,9995; f (2,9999) = 5,99995
lím f (x) = 6

x83

Página 275
1. Cada una de las siguientesfunciones tiene uno o más puntos donde no es continua. Indica cuáles son esos puntos y qué tipo de discontinuidad presenta:
a) y =

x+2
x–3

2
b) y = x – 3x
x

2
c) y = x – 3
x

° 3 si x ? 4
d) y = ¢
£ 1 si x = 4

a) Rama infinita en x = 3 (asíntota vertical).
b) Discontinuidad evitable en x = 0 (le falta ese punto).
c) Rama infinita en x = 0 (asíntota vertical).
d) Salto en x =4.
Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

1

2. Explica por qué son continuas las siguientes funciones y determina el intervalo en el que están definidas:
a) y = x 2 – 5

b) y = √ 5 – x

° 3x – 4, x < 3
c) y = ¢
£ x + 2, x Ó 3

° x, 0 Ì x < 2
d) y = ¢
£ 2, 2 Ì x < 5

a) Está definida y es continua en todo

Á.

b) Está definida y es continua en (–@,5].
Las funciones dadas mediante una expresión analítica sencilla (las que conocemos)
son continuas donde están definidas.
c) Está definida en todo Á. Es continua, también, en todo Á. El único punto en
que se duda es el 3: las dos ramas toman el mismo valor para x = 3:
3·3–4=9–4=5

3+2=5

Por tanto, las dos ramas empalman en el punto (3, 5). La función es también continua en x = 3.
d)También las dos ramas empalman en el punto (2, 2). Por tanto, la función es continua en el intervalo en el que está definida: [0, 5).

Página 278
1. Calcula el valor de los siguientes límites:
3
a) lím
b) lím (cos x – 1)
x–2
x80
x80
a) –

3
2

b) 0

2. Calcula estos límites:
a) lím √ x 2 – 3x + 5

b) lím log10 x

x82

x 8 0,1

a) √ 3

b) –1

Página 279
3. Calcula k paraque la función y = f (x) sea continua en Á:
° x 3 – 2x + k, x ? 3
f (x) = ¢
x=3
£ 7,
lím (x 3 – 2x + k) = 21 + k °
§
¢
§
£
f (3) = 7
x83

2

21 + k = 7 8 k = –14

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

UNIDAD 11

Página 281
4. Calcula los límites de las funciones siguientes en los puntos que se indican.
Donde convenga, especifica el valor dellímite a la izquierda y a la derecha del
punto. Representa gráficamente los resultados:
a) f (x) =

x3
en –2, 0 y 2
x2 – 4

b) f (x) = 4x – 12 en 2, 0 y 3
(x – 2)2

c) f (x) =

x 2 – 2x + 1
en 1 y –3
x 2 + 2x – 3

d) f (x) =

a) f (x) =

x3
(x + 2) (x – 2)

+

f (x) = +@

x 8 –2

No existe

°
§
¢
§
£

lím

f (x) = –@

°
§
¢
§
£

lím

x 8 –2–

x3

x4en 0 y –3
+ 3x 2

No existe lím f (x).

lím

f (x).

x 8 –2

2

3

2

–2

3

lím f (x) = 0

x80

lím

x 8 2–

f (x) = –@

lím + f (x) = +@

x82

x82

b) f (x) = 4 (x – 3)
(x – 2)2
lím f (x) = –@

x82

lím f (x) = –3

x80

lím f (x) = 0

–3

x83

c) f (x) =

(x – 1)2
(x – 1) (x + 3)

lím f (x) = 0

x81

lím

x8

–3+

f (x) = +@
f(x) = –@

°
§
¢
§
£

lím

x 8 –3–

No existe

lím

f (x).

x 8 –3

Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas

–3

1

3

x4
x 2 (x + 3)

d) f (x) =

lím f (x) = 0

x80

x 8 –3

lím

–

x 8 –3+

f (x) = –@
f (x) = +@

–3

°
§
¢
§
£

lím

No existe

lím

f (x).

x 8 –3

Página 282
1. Di el límite cuando x 8 +...