mates

DERIVE








3.1 FACTORITZACIÓ DE POLINOMIS


Introdueix l'expressió (3x^3-14x^2+4x+3)/(3x+1). Confirma prement Sí. Mentre el quocient de polinomis es troba ressaltat a la pantalla, prem per simplificar. Veuràs que es calcula la divisió. Compara el quocient amb el que apareix a la pàgina 64 del llibre.

Repeteix la pràctica anterior amb la fracció algebraica((3x^3-13x^2+8x+19)/(3x+2). Ara no aconsegueixes el quocient perquè la divisió no és exacta (els polinomis no són divisibles). No obstant, pots obrir el menú Simplificar de la barra d'eines i triar l'opció Expandir (confirma amb el botó Expandir de la part inferior). Obtindràs x2-5x+6 com a quocient i 7 com a resta. Recorda que:




Repeteix l'exercici amb altres polinomis.

Prem i introdueix l'expressióx^3-9x^2+26x-24. Confirma amb Sí i, a continuació (amb el polinomi ressaltat), obre el menú Simplificar i tria l'opció Factoritzar. Finalitza prement el botó Factorizar (o prem Sí i després simplificar amb la icona de la barra d’eines). També pots fer-ho directament si prems CTRL+F mentre el polinomi està ressaltat. Acabes de factoritzar el polinomi.


Practica

1. Factoritza els polinomissegüents:

3x^2+3x-36 3x^4+3x^3-33x^2+3x-36

x^6-15x^ 4-42x^3-40x^2 x^6-9x^5+24x^4-20x^3

x^6-3x^5-3x^4-5x^3+2x^2+8x x^4+4x^3+8x^2+7x+4

6x^4+7x^3+6x^2-1 6x^2+x-1

Compara els resultats amb els dels exercicis resolts i proposats a la pàgina 65 del llibre.

2. Factoritza l’expressió x^2-(a+b)x+ab. Interpreta el resultat mitjançant la relació entre la suma i el producte de lesarrels d'una equació de segon grau i el coeficient de x i el terme independent, respectivament.

Introdueix l’expressió (x-3)(x+1)(x-1)(x-5). A continuació, obre el menú Simplificar i tria l'opció Expandir. Obtindràs un polinomi de quart grau. Factorítza'l. Hauries d’obtenir els factors inicials.

Repeteix la pràctica amb altres factors de la forma (x  a).

3. Seguint el model anterior,troba polinomis que presentin les arrels següents:

a) x = 1, x = 5 i x = 3 b) x = –1 i x = 2 c) x = 2, x = 7 i x = 0

d) x = 1 i x = 3/2 e) x = 2 i x = 0 f) x = –2, x = 4, x = –3 i x = 5

Introdueix el polinomi x^2-4 i factoritza’l. Observa que les arrels són racionals (de fet, enteres).


Introdueix el polinomi x^2-3 i factoritza'l.Quan obris la finestra corresponent a Simplificar/Factoritzar selecciona a mà dreta, Forma, l'opció Racionals. Comprova que no obtens el desitjat perquè les arrels no són racionals. Repeteix l'operació però ara selecciona l'opció Radicals i comprova’n el resultat.


4. Factoritza els polinomis següents:

x^2-3x-4 3x^2-5x+7 x^3-2x^2+x

x^3-3x^2+2xx^4-8x^3+18x^2-11x x^3-7x^2+3x

x^3-2x^2+x-2 x^3-2x^2-9x+18

5. Resol els exercicis 32, 33 i 34 de les pàgines 84 i 85 del llibre. Per a l'exercici 2 hauràs de factoritzar prèviament cada polinomi.


3.2 FRACCIONS ALGEBRAIQUES

Introdueix l’expressió (3x^3-2x^2+5x)/(x^2-3x) i confirma amb Sí. Veuràs a la pantalla una fracció algebraica. Si simplifiques amb , obtindràsla fracció irreductible resultant. Observa que numerador i denominador s’han dividit per x.

Practica

6. Comprova, simplificant, que les fraccions (x-2)/(x^2+x-6) i x/(x^2+3x) són totes dues equivalents a 1/(x+3).

7. Comprova l’exercici 4 de la pàgina 82 del llibre.

8. Introdueix l’expressió 4/(x-4)+5/(x+4)+3/(x^2-16) i confirma amb Sí. Veuràs a la pantalla una suma de fraccionsalgebraiques. Si simplifiques amb , obtindràs la fracció resultant. Observa que el denominador és el mínim comú denominador de les fraccions inicials (i apareix factoritzat).

9. Efectua les operacions següents amb fraccions algebraiques:

(x+7)/x+(x-2)/(x^2+x) -(2x-1)/(x+1) 1/(x^2-1)+2x/(x+1)-x/(x-1)

(3x+1)/(x-1) x/(x+1) (2x/(x+1))/((x-1)/x^2)

Compara el que has introduït amb els...