mates

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3

LA INTEGRAL DEFINIDA.
APLICACIONES

Página 363
REFLEXIONA Y RESUELVE
Dos trenes
Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y
en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.
Estas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.
VELOCIDAD
(en km/h)
120

TALGO
MERCANCÍAS

100
80
60
40
20

1

2

3

4TIEMPO
(en horas)

Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad:
¿A qué puede deberse?
¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante?
A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el Talgo se detiene durante
breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante
media hora.
■

Para hacernos una idea clara deestos movimientos, realicemos algunos cálculos:
a) El Talgo, durante 2 h, va a 120 km/h. ¿Cuántos kilómetros recorre a esa velocidad?
1
b) De 2 a 2 , el Talgo disminuye su velocidad. ¿Cuántos kilómetros recorre a
4
esa velocidad?
c) El tren de mercancías aminora la marcha a las 3 h. ¿Qué distancia ha recorrido hasta ese momento?
d) ¿Qué distancia recorre el tren de mercancías durante la mediahora en que
va a baja velocidad?

Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones

1

Haciendo los cálculos anteriores, podrás comprobar que:
Ambos trenes recorren 240 km a velocidad normal. Reducen la velocidad en el
mismo lugar y recorren, así, otros 15 km (puede ser debido a obras en la vía) y,
a continuación, recupera cada cual su velocidad normal. (Es decir, el tren de
mercancías nofrena cuando el Talgo, pero sí donde el Talgo). Más adelante, el
Talgo para en una estación.
e) ¿A qué distancia de la estación de salida está esta otra en la que para el Talgo?
f ) Observa que en todos los cálculos que has realizado hasta ahora se han obtenido áreas bajo las gráficas, roja o azul. Señala los recintos cuyas áreas has
calculado y asigna a cada uno su área correspondiente.
a)120 · 2 = 240 km.
b) A 60 km/h durante 1 de hora, recorre 60 = 15 km.
4
4
c) Ha ido a 80 km/h durante 3 horas, luego ha recorrido 80 · 3 = 240 km.
d) Va a 30 km/h durante 1 hora, luego recorre 30 · 1 = 15 km.
2
2
e) La parada la hace a las 3 horas; en este momento lleva recorrida una distancia de:
120 · 2 = 240 km en las dos primeras horas
60 · 1 = 15 km el siguiente cuarto de hora
4120 · 3 = 90 km los siguientes tres cuartos de hora
4
Total: 240 + 15 + 90 = 345 km hasta llegar a la parada.
f)

VELOCIDAD
(km/h)

120
100
80
60

TALGO

Área
90

Área 240

40
20

1
VELOCIDAD
(km/h)

2

Área 3
15

TIEMPO (horas)
4

80
60
MERCANCÍAS

Área 240

40
20

Área 15
TIEMPO (horas)
1

2

2

3

4

Unidad 13. La integral definida.Aplicaciones

UNIDAD 13

Consumo de energía eléctrica
La gráfica adjunta nos da la potencia eléctrica que hay en funcionamiento en
una vivienda, a cada instante, entre las 7 de la mañana y las 12 de la noche.
POTENCIA
(en watios)
1 000

500

100
7 8

10

12

14

16

18

20

22

TIEMPO
(en horas)
24

El área bajo la curva es la energía consumida:
potencia Ò tiempo =energía
Un cuadradito equivale a 0,1 kWh.
■

¿Cuántos kWh se han consumido, aproximadamente, en esas 17 horas?
Hay 81,25 cuadritos, luego se han consumido:
0,1 · 81,25 = 8,125 kWh

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1. Halla gráficamente las siguientes integrales:
a)

∫

6
2

(

)

x
+ 1 dx
2

b)

∫

4

√16 – x 2 dx

–4

x
y=—+1
2

a) Es un trapecio cuyas bases miden 2 y 4 y cuyaaltura mide 4.
Área =

2+4
· 4 = 12 u2
2

4
2
4

b) y = √16 – x 2

ò y 2 = 16 – x 2 ò x 2 + y 2 = 4 2 (Circunferencia)
4

El recinto cuya área queremos calcular
es medio círculo de radio 4 u.

3
2

—
y = √16 – x2

Área =

1

=
–4

–3

–2

–1

0

1

2

Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones

3

4

1
1
· π · 42 =
· π · r2 =
2
2
16
· π = 8...