Mates

Proporcionalidad geométrica. Teorema de Tales |
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Sofía Pumariega FernándezSara Peruyera SuárezCarlota Pérez SantiagoHéctor Moreno San MillánSergio Martínez AmorínMatemáticas y su Didáctica II 2011/2012 |
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ÍNDICE
1) Segmentos en el plano
2) Teorema de Tales.
2.1) Definición
2.2) Aplicaciones
3) Semejanza de triángulos
3.1) Triángulos en posición deTales
4) Criterios de semejanza
5) Polígonos semejantes
5.1) Escalas
6) Ejercicios
7) Bibliografía

1) Segmentos en el plano:
Una recta es una línea continua formada por infinitos puntos que no tiene ni principios ni fin. Se representa mediante letras latinas.

recta
Una semirrecta es una recta que tiene principio pero no tiene final.semirrecta
Un segmento es la porción o parte de la recta delimitada por dos puntos (extremos).

segmento

Segmentos proporcionales
Se entiende por proporcionalidad la igualdad entre dos razones con lo que, la razón es el cociente indicado de sus medidas. Por ejemplo, la razón de 2dm y 8m es:A = C 2 = 1
B D 80 40
En toda proporción, el producto de los valores de los términos extremos (2 y 40) es igual al producto de las medidas de los términos medios (80 y 1).
“Producto de medios igual al producto de extremos”.

GH
GH
Centrándonos en segmentos, AB y CD seránproporcionales a EF y GH si, la razón de AB y CD es igual a la razón de EF y GH.
CD
CD
AB = EF = r
EF
EF
AB
AB
CD GH
2) Teorema de Tales
Existen dos teoremas atribuidos al griego Tales de Mileto. Elprimer teorema se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente; y el segundo teorema se demuestra la propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa).
PRIMER TEOREMA:
Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulossemejantes.

Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC. 
Por lo tanto:

Ejemplo:
Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Del primer teorema de tales sededuce que “Si dos rectas cualesquiera (r y s) se cortan por varias rectas paralelas (AA’, BB’, CC’) los segmentos determinados en una de las rectas (AB, BC) son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra (A’B’, B’C’)”:
 

Ejemplo: Calcular la medida del segmento x

N

N

APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE TALES:
El primer teorema de Tales se utiliza para dividir un segmento envarias partes iguales.
Por ejemplo, dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
1. Trazamos una semirrecta r con origen en A y cualquier inclinación.
2. Dibujamos sobre ella con una medida cualquiera, 3 segmentos iguales a partir de A.

3. Unimos el extremo del último segmento con el punto B, y trazamos paralelas a esa recta desde las demás divisiones.

Por el Teorema de Tales, lossegmentos en los que queda dividido el segmento AB son proporcionales a los dibujados sobre la recta, y por lo tanto, son iguales entre sí.
SEGUNDO TEOREMA
El segundo teorema de Tales es de geometría, enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos.
Dicho teorema es: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC, distinto de A y de C. Entonces el ángulo ABC, es...