mates

2

Els nombres reals

Objectius
En aquesta quinzena aprendràs a:
•

Classificar els nombres reals
en racionals i irracionals.

•

Aproximar nombres reals per
truncament i arrodoniment.

•

Representar gràficament
nombres reals.

•

Comparar nombres reals.

•

Realitzar operacions senzilles
amb radicals.

Abans de començar
1. Els nombres reals …………………………… pàg. 22Nombres irracionals
Nombres reals
Aproximacions
Representació gràfica
Valor absolut
Intervals
2. Radicals ………………………………………………… pàg. 26
Forma exponencial
Radicals equivalents
3. Propietats de les arrels ………………… pàg. 27
Arrel d’un producte
Arrel d’un quocient
Arrel d’una potencia
Arrel d’una arrel
4. Operacions amb arrels ……………………… pàg. 28
Introduir i extreure factors
Calcular arrelsSumes i restes
Productes
Quocients
Exercicis per practicar
Per saber-ne més
Resum
Autoavaluació

MATEMÀTIQUES A

19

20

MATEMÀTIQUES A

Els nombres reals

Abans de començar

Investiga
Segurament hagis realitzat alguna vegada algun càlcul amb el nombre pi: calcular la
longitud d'alguna circumferència o l'àrea d'un cercle. En aquests càlculs hauràs utilitzat
valors com 3,14,3,1416, 3,141592... També és possible que hagis llegit en algun diari que
s'ha descobert una altra xifra del nombre pi. Tot l'anterior resulta una mica confús. Quina
de les quantitats anteriors és l'autèntic nombre pi? Com és possible que cridem pi a totes
elles si és evident que són diferents? Com és possible que s'estiguin descobrint encara xifres
de pi si l'estem usant des de fa un muntd'anys?
Intenta donar una resposta a aquestes preguntes. Si no ho aconsegueixes ara torna a
intentar-ho després de veure aquest tema en profunditat. Per finalitzar la proposta, aquí
tens una altra pregunta: Quin és o quina podria ser l'última xifra del nombre pi?

MATEMÀTIQUES A

21

Els nombres reals
1. Els nombres reals

REPRESENTACIÓ DE
NOMBRES IRRACIONALS

Nombres irracionals
Ala quinzena anterior hem vist que els nombres
racionals es poden escriure en forma decimal,
resultant sempre un nombre decimal exacte o
periòdic. També hem vist que qualsevol decimal
periòdic es pot escriure en forma de fracció.
És fàcil comprovar que hi ha nombres l'expressió
decimal dels quals no és periòdica, per exemple:
0,1234567891011121314.....
Aquests nombres no es poden escriureen forma de
fracció: no són racionals.
Anomenem irracionals als nombres la part decimal
dels quals no és periòdica ni exacta.

El nombre

El fet que els nombre irracionals tinguin
infinites xifres decimals que no es
repeteixen de forma periòdica planteja
el problema de com representar aquests
nombres de forma exacta.
Alguns
d’aquests
nombres
poden
representar-se de forma exacta, perexemple:

són
representacions
exactes
dels
nombres 1,41421356…; 1,61803398…;
1,709975947…
respectivament
(els
punts suspensius indiquen que no hi ha
un final).
En canvi, altres nombres irracionals no
poden expressar-se en forma exacta.,
per exemple: el quocient entre la
longitud d’una circumferència i el seu
diàmetre és una quantitat constant que
és irracional però no pot serdescrit en
una forma senzilla com els nombres
anteriors.
Per representar aquests nombres de
manera exacta els posem un nom. En
aquest cas es tracta del nombre pi: ∏.
Per fer càlculs amb aquests nombres
fem servir un valor aproximat.

és irracional (ampliació)

Com es pot saber si un nombre és irracional? No hi ha una tècnica general, però en alguns casos es pot
utilitzar una tècnica dedemostració anomenada reducció al absurd que consisteix en suposar que és cert el
contrari del que volem provar i arribar, a partir d’aquesta suposició, a una contradicció. Això implica que el fet
inicial no pot ser fals.
El que volem provar és que

no és un nombre racional. Per això començarem suposant que ho és.

Per tant, es pot escriure en forma de fracció que, simplificant, podem...