mates

Matem`tiques I, Matem`tiques
a
a
Problemes del Seminari 4
Heu de raonar breument totes les respostes i justificar els passos que feu. Cal
que lliureu els problemes en fulls grapats amb el nom iamb un problema per
full (o comen¸ar cada problema en un full nou).
c
Mat`ria: Sessions 7 i 8.
e
1. Trobeu la derivada de les funcions:
√
(a) y = x x + 1.
(b) y = ln(ln( √1 3 )).
x
(c) y =e3x

2

ln(x)

.

´
SOLUCIO:
√
√
2
(a) (3x+2)/(4 x x + 1 x + 1) ; (b) 1/(x ln(x)); (c) (6x ln(x)+3x) e3x ln(x) .
2. Donada la funci´ f (x) = ln(kx2 + 1):
o
(a) Determineu per quinsvalors del par`metre k la funci´ ´s creixent
a
oe
a x = 1.
(b) Trobeu la fam´ de rectes tangents en el punt x = 1 en termes
ılia
del par`metre k.
a
´
SOLUCIO:
(a) k > 0; (b) y = (2k/(k + 1))x +ln(k + 1) − (2k)/(k + 1)

1

3. Donada la corba d’expressi´ x2 + (1/4)xy 3 + y = 1:
o
(a) Trobeu quins valors de y corresponen a x = 1.
(b) Derivant impl´
ıcitament, calculeu y (1).
(c)Trobeu l’equaci´ de la recta tangent a la corba en el punt x = 1.
o
´
SOLUCIO:
(a) y = 0 quan x = 1; (b) y (1) = −2; (c) y = −2x + 2.
4. Donada la corba d’expressi´ x3 + y 3 = (9/2)xy, que podeu veurerepreo
sentada en el gr`fic seg¨ent:
a
u

(a) Trobeu quins valors de y corresponen a x = 1 (en el gr`fic s’observa
a
que n’hi ha tres).
(b) Derivant impl´
ıcitament, calculeu y (1) per a y(1)> 0.
(c) Trobeu les equacions de les dues rectes tangents a la corba en els
punts x = 1, y(x = 1) > 0.
´
SOLUCIO:
√
√
(a) y = 2; y = 26 − 1; y = −( 26 + 1).
(b) y (x = 1) = 4/5, o b´ y (x = 1)= 0.457.
e
(c) y = (4/5) x + 6/5; o b´ y = 0.457 x − 0.232.
e
2

5. Donada la funci´:
o
f (x) =

(−1/2)x − 1
(1 − ex )/x

x ≤ 0
x > 0.

(a) Trobeu el seu domini i estudieu-ne lacontinu¨ a tot el domini.
ıtat
Despr´s trobeu el recorregut (o rang).
e
(b) Argumenteu si existeix la derivada de la funci´ en el punt x = 0.
o
En cas d’existir, calculeu-la.
´
SOLUCIO:
´
(a)...