mates

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APLICACIONES
DE LAS DERIVADAS

REFLEXIONA Y RESUELVE
Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada
■

Analiza la curva siguiente:

Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada
■

Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes:

D
A

B

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

C

E

G
F

1

■

Dibuja la gráfica de unafunción, f, que cumpla las siguientes condiciones:
• La función está definida en [0, 7].
• Solo toma valores positivos.
• Pasa por los puntos (0, 1), (3, 1) y (7, 1).
• En el intervalo (1, 2), la función es convexa.
• En el intervalo (2, 4), f '' > 0.
• En el intervalo (4, 6), f ' es decreciente.
• En el intervalo (6, 7), f es cóncava.

1

0

1

2

3

4

5

6

7

1.Halla las rectas tangentes a la curva:
y=

5x 3 + 7x 2 – 16x
x–2

en los puntos de abscisas 0, 1, 3.

2

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 10

2. Halla las rectas tangentes a la circunferencia:
x 2 + y 2 – 2x + 4y – 24 = 0
en los puntos de abscisa x0 = 3.

1. Dada la función y = x 3 – 3x 2 – 9x + 5, averigua:
a) Dónde crece.

b) Dónde decrece.

2. Comprueba quela función y = x 3/(x – 2)2 tiene solo dos puntos singulares,
en x = 0 y en x = 6.
Averigua de qué tipo es cada uno de esos dos puntos singulares; para ello, debes estudiar el signo de la derivada.
Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

3

3. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función
y = –3x 4 + 4x 3. Mediante una representación adecuada, averigua de quétipo es cada uno de ellos.
b) Ídem para y = x 4 + 8x 3 + 22x 2 + 24x + 9.

1
1

–4 –3 –2 –1

4

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 10

1. Estudia la curvatura de esta función:
y = 3x 4 – 8x 3 + 5

2. Estudia la curvatura de la función siguiente:
y = x 3 – 6x 2 + 9x

1. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima.

Unidad 10.Aplicaciones de las derivadas

5

2. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima.

3. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?

4. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menorcantidad posible de hojalata.

6

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 10

1. Calcula, aplicando L’Hôpital:
sen x (1 + cos x)
x cos x
x80

a) lím

b) lím

x80

e x – e –x
sen x

2. Calcula:
e –x + x – 1
x2
x80

a) lím

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

b) lím

x 8 –1

x 3 + 2x 2 + x
x3 + x2 – x – 1

7

3. Aplica L’Hôpital:
lím (cos x + senx)1/x

x80

4. Calcula:
lím (1 – 21/x )x

x 8 +@

1. a) Explica por qué y = sen x cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el
intervalo [0, π].
b) ¿En qué punto se verifica la tesis del teorema de Rolle?

2. Demuestra que f (x) cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el
intervalo [2, 6]. ¿En qué punto cumple la tesis?
si x < 4
° 2x – 3
f (x) = ¢ 2
£ –x + 10x – 19 six Ó 4

8

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

UNIDAD 10

3. Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función:
f (x) = x 2 – 3x + 2 en [–2, –1]
Calcula el valor correspondiente a c.

4. Repite el ejercicio anterior para la función:
g (x) = x 3 – x 2 – x + 1

Unidad 10. Aplicaciones de las derivadas

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5. Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que x 3 –3x + b = 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [–1, 1] cualquiera que sea el valor de b.
(Hazlo por reducción al absurdo: empieza suponiendo que hay dos raíces
en ese intervalo).

6. Calcula p, m y n para que
° – x 2 + px
f (x) = ¢
£ mx + n

si –1 Ì x Ì 3
si 3 Ì x Ì 5

cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [–1, 5]. ¿Dónde
cumple la tesis? Represéntala....