Mates

SELECTIVIDAD
 
 -­
 
 ÁLGEBRA
 
 
 BCN
 


 

 

Junio
 2010
 
 A.1
 

 

⎛ 0 1
1 ⎞
⎜
⎟
A − 2I = ⎜ 2 1
2 ⎟ ;
 
a)
 
 
 
  ( A − I ) = A − 2AI + I = A( A − 2I ) + I;
⎜
⎟
⎝ −3 −3 −4 ⎠
⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 0 1
1 ⎞ ⎛ −1 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
2
A( A − 2I ) = ⎜ 2
3 2 ⎟ ⎜ 2 1
2 ⎟ = ⎜ 0 −1 0 ⎟ = −I; ( A− I ) = −I + I = 0
 
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
€
⎝ −3 −3 −2⎠ ⎝ −3 −3 −4 ⎠ ⎝ 0 0 −1⎠

 

 
 
−1
b)
 
  A = −24 + 25 = 1 ≠ 0 ⇒ ∃ A −1; A − 2I = −1 ≠ 0 ⇒ ∃ ( A − 2I ) ;
 
€

 
⎛ 1 1 1 ⎞
⎜
⎟
−1

 
 
 
 
 
 
 
  A − I = ⎜ 2 2 2 ⎟ ; A − I = 0 ⇒ No existe ( A − I )
 
€
⎜
⎟
⎝ −3 −3 −3⎠

 
 
 
 
 
 
  
 
 
c)
 
1
(α ij )
(Aij )
(A ji )
(A )
€
A ji

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  ⎛ 0 2 3 ⎞ ⎛ 0 −2 3⎞ ⎛ 0 −1 −1⎞ ⎛ 0 −1 −1⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 −1 −3⎟ →⎜ −1 −1 3⎟ →⎜ −2 −1 −2⎟ →⎜ −2 −1 −2⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ −1 2 4 ⎠ ⎝ −1 −1 4 ⎠ ⎝ 3 3 4 ⎠ ⎝ 3 3 4 ⎠
 

 
⎛ 0 −1 −1⎞
⎛ 0 1
1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟
2 ⎟ ⇒ λ = −1
 
€
 
 
 
 
 
  ⎜ −2 −1 −2⎟ = λ ⎜ 2 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 3 3 4 ⎠
⎝ −3 −3 −4 ⎠
2

2

2

Junio
 2010
 
 B.1
 
€

€

€


 
a)
 

−y + z = 6 ⎫
⎪
0 −1
3x + 2y − 4z = 0 ⎬ ⇒ A = 0;
= 3 ≠ 0;
3 2
⎪
−y + z = 2 ⎭

 
b)
 
 
 
2a + 2b + 3 = 3c ⎫ 2a + 2b − 3c = −3⎫
⎪
⎪
3 − 4b − 6c = a ⎬ ⇒ a + 4b+ 6c = 3 ⎬ ⇒

 
 
 
⎪
⎪
5a − 4 + 3c = −4b ⎭
5a + 4b + 3c ⎭


 

0 −1 6
Rang(A) = 2
3 2 0 = −6 ≠ 0 ⇒
⇒ S.IC.
 
Rang( Aʹ′) = 3
0 −1 4

A = 78 ≠ 0; Solución : (1, -1, 1)


 

1
 

−3 2 −3
2
3 4 6
1
4 4 3
5
78
x=
=
= 1; y =
78
78

 
c)
 
  (a, b, c) = (1, 1, 1)
 

 
2x − y + z = 3 ⎫
⎪
3x + 2y − 2z = 1⎬ ⇒ A = −1 ≠ 0 ⇒⎪
5x − 2y + z = 4 ⎭

€

€

−3 −3
2 2 −3
3 6
1 4 3
4 3
5 4 4
−78
78
=
= −1; z =
=
= 1
 
78
78
78
78

La solución (1, 2, 3) es única pues el sistema es C.D.
 


 
Septiembre
 2010
 
 A.1
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

€

€

€

€

€

€

€
€
€

α α3

 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
  α α
α3 α

 
a)
  Si α ≠ 0,±1

 

1
1 = α 6 − 2α 4 + α 2 ; α = 0; α = ±1
 
1

⇒ Rang(A) = Rang( Aʹ′) = 3 ⇒ S.C.D.
 

z = 1⎫
Rang(A) = Rang( Aʹ′) = 1 ⇒ S.C.I
⎪
Solución : ( λ, µ, 1)
b)
 
 
 
  Si α = 0 ⇒ z = 1⎬ ⇒

 
⎪
z = 1⎭
(Apartado c)

 
 
 
 
 
 
 
 
x + y + z = 1⎫
Rang(A) = Rang( Aʹ′) = 1 ⇒ S.C.I
⎪Solución : ( λ, µ, 1- λ - µ)
 

 
  Si α = 1 ⇒ x + y + z = 1⎬ ⇒
⎪
x + y + z = 1⎭
(Apartado c)

 
 
 
 
 
 
 
 
 
-x - y + z = 1⎫ Rang(A) = Rang( Aʹ′) = 1 ⇒ S.C.I
⎪

 
  Si α = -1 ⇒ -x - y + z = 1⎬ ⇒ Solución : ( λ, µ, 1 + λ + µ)

 
⎪
-x - y + z = 1⎭
(Apartado c)

 

 

 
Septiembre
 2010
 
 B.1
 

 
a)  A = 12(x + 2) −10(x + 3) = 2x − 6 ⇒ 2x − 6 = 6 ⇒ x = 6
 

 
b)
 
 
 
  2A(x) = 2 3 A(x) = 8⋅ (2x − 6)
 

 
c)
  ∃ B(y) −1 ⇔ B(y) ≠ 0; B(y) = −10(y +1) + 20(y + 2 −10(y + 3) = 0;

 

 
 
 
 
 No
 hay
 ningún
 valor
 de
 y
 para
 el
 cual
 exista
 la
 inversa
 de
 B(y)
 

 

 

B(y) = 0, ∀y∈ R
 

2
 


 

Junio
 2011
 
 A.1
 

 
a)
 

⎛1 1
⎜
m = 2 ⇒ ⎜2 0
⎜1 3
⎝
x = 3λ ⎫
⎪
3z = 5 − 6 λ ⎬ ⇒
⎪
3y = 1 − 3λ ⎭

 
1 1
€

€
€

1 2⎞
⎟
3 5⎟;
0 1⎟⎠

1 1 2
A = 0;
= −2 ≠ 0; 2 0 5 = 0 ⇒ Rang(A) = Rang( Aʹ′) = 2 ⇒ S.C.I.
2 0
1 3 1

 

Solución : (3λ,

1 1

1
5
− λ, − 2 λ)
3
3

1
3 = −2m +...