mates

ESCI–Matem´
aticas
Gu´ıa 1. Tema 1: Funciones en una variable
S&H Cap´ıtulos 2 y A.2
Problemas recomendados:
2.2: 1–9, 12–15, 17.
2.4: 1,2.
A.2: 1,2,4.

ESCI/UPF

(ESCI/UPF)

ESCI, Gu´ıa 1

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´Indice

1

Funciones de una variable
Gr´afica de una funci´
on
Funciones b´asicas
La ra´ız cuadrada

Dominio
Rango

(ESCI/UPF)

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Funcionesde una variable

Definici´
on de funci´
on

Una funci´on f (x) de variable real x con dominio D es una regla que asigna
a cada x del dominio de f (x) un u
´nico n´
umero real y . Escribiremos
y = f (x)
y diremos que y es la imagen de x por la funci´
on f . x es la variable
independiente e y es la variable dependiente (S&H, p. 32).
T´ecnicamente una funci´on es un conjunto de parejas(x, y ) de manera que
para cada a del dominio de f solamente hay una pareja de la forma (a, y )
que sea de la funci´on. Escribimos y = f (a) en este caso.

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Funciones de una variable

Maneras de dar funciones
Hay diversos mecanismos para definir funciones particulares, entre ellos
citaremos:
1

2

3

4

Directamente como conjunto de parejas,por ejemplo
f = {(2, 3), (7, 8)}. En esta funci´
on f (2) = 3, f (7) = 8 y el dominio
es {2, 7}.
x f(x)
Como tabla de valores, por ejemplo 2
3
4
5
Expl´ıcitamente, donde una expresi´
on de la forma y = f (x) nos dice
c´omo calcular la y a partir de la x.
A partir del su gr´afica, tema que estudiaremos m´as adelante.

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Funciones de unavariable

Notaci´
on funcional

En la notaci´on funcional, una expresi´
on de la forma y = f (x) nos dice
como calcular la y a partir de la x, por ejemplo y = f (x) = x o bien
y = g (x) = x 2 . En este punto hay que destacar que la variable x se puede
sustituir por cualquier valor del dominio de f y por cualquier expresi´on; por
ejemplo, si f (x) = x 2 entonces f (x + 2) = (x + 2)2 y f (−x) =(−x)2 .... y
tiene sentido calcular por ejemplo f (x + 1) − f (x).

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Funciones de una variable

Notaci´
on funcional II

Por ejemplo, si C (x) = 200x + 23 es el coste de producir x unidades de un
producto, podemos calcular e interpretar
1

C (0)

2

C (100)

3

C (x + 1)

4

C (101) − C (100)

5

C (x + 1) − C (x)

6

C (x)/x.(ESCI/UPF)

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Funciones de una variable

Gr´
afica de una funci´
on

Gr´
afica de una funci´
on
Recordad que la gr´afica es precisamente la representaci´on gr´afica del
conjunto de parejas (x, y ) tales que y = f (x)

La gr´afica de una funci´on nos proporciona mucha informaci´on sobre los
valores de f (x), sobre el dominio, sobre ´
optimos...(ESCI/UPF)

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Funciones de una variable

Funciones b´
asicas

Funciones b´
asicas
f (x) = x,f (x) = x 2 ,f (x) = x 3 ,f (x) = x 4 ,f (x) = x1 ,f (x) = x12 son
funciones b´asicas que hay que saber reconocer y representar sin dificultades

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Funciones de una variable

Funciones b´
asicas

La ra´ız cuadrada

Repasaremosbrevemente las propiedades de esta funci´on, empezando por
√
su definici´on (S&H p. 646), seg´
un la que f (x) = x es aquel numero no
√
negativo que multiplicado por ´el mismo da x. Es decir, x satisface que
√
1
x ≥ 0.
√ √
2
x x = x.
√
Observemos que x s´olo se puede calcular si x ≥ 0.

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Funciones de una variable

Funciones b´
asicasEjemplos

√

1

Hay que distinguir entre el c´alculo

2

y las soluciones de una ecuaci´
on de segundo grado:
2
x = 16 ↔ x = ±4.

3

Tambi´en√
hay que vigilar al resolver ecuaciones irracionales, tales como
x + 2 = 4 − x, y comprobar siempre la soluci´
on..

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16 = 4...

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Funciones de una variable

Dominio

Dominio

El dominio de...