mates

Solucionario

4

Vectores en el espacio
ACTIVIDADES INICIALES

4.I. Efectúa las siguientes operaciones en R³
1

a)  5, − ,
2


  1

4  +  , − 7, 2 
  3


 16 −15 
a)  ,
, 6
2
 3


3

b) 3  2, − 1, 
4


c) 6(2, 3, −1) + 4(1, −5, 2)

9

b)  6, − 3, 
4


c) (16, –2, 2)

4.II. Calcula los valores de a, b y c para que seanciertas las siguientes igualdades:
a) (a, b + 2, 7) = (5, 1, 8) – (a, –3, 1)
b)

2

 4 − b , 3a + b , 
5


= 2(a + 2b, –1, c)

c) (a + b, b + c, c + a) = (–2, 3, 1)

a) a =

5
,b=2
2

b) a =

2
−14
16
, b=
, c=
13
13
5

c) a = –2, b = 0, c = 3

EJERCICIOS PROPUESTOS

4.1 Dados los vectores de la figura derecha, dibuja los correspondientes a
las siguientesoperaciones.






c) –2 b
e) a + b + c
a) a + b






d) 3 a – 2 b
f) 3 a – 2 b – c
b) 3 a
a)

c)

b
e)

Y
a+b+c

a+b

a

2

–2b

1

O
1

b

c

b

d)

f)
Y

3a

–2b

a

3a – 2b – c

3a

3a – 2b

1

b
X

O 1

Y

Y

1

a

1

X

2

X

b)

O

c

Y

Y

O

a

2
O

–2b
2

X

3a

2
OX

2
c

X

4

Solucionario

4.2 Estudia la dependencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores, dados por sus coordenadas en
una base B de V3.



a) a = (1, 2, 3), b = (2, 1, 3), c = (1, 0, 1)



b) a = (2, 0, 1), b = (0, 1, 0), c = (3, 1, 2)
a) Son linealmente independientes si no es posible expresar uno de ellos como combinación lineal de los otros
dos.
(1,2, 3) = a(2, 1, 3) + b(1, 0, 1)
b = −3
1 = 2a + b
1 = 4 + b



2
=
a
→
2
=
a
→


a = 2
3 = 3a + b
3 = 6 + b
b = −3









Luego a se puede expresar como combinación lineal de b y c ya que a = 2 b − 3 c .

1 2 3
De otro modo, 2 1 3 = 1 + 6 − 3 − 4 = 0  los vectores son linealmente dependientes.
1 0 1



b) a no se puede expresar comocombinación lineal de b y c ya que su determinante es no nulo, o lo que es lo
mismo, queda un sistema incompatible.



4.3 Comprueba si forman base de V³ los vectores u 1 = (1, 0, −3); u 2 = (1, −1, 1); u 3 = (0, 2, −8) expresados
por sus coordenadas en una base de V³.

1
No forman base porque no son linealmente independientes, pues 1
0

0 −3
−1 1 = 0 .
2 −8




4.4 a)Comprueba que los vectores u 1 = (2, 1, 0); u 2 = (3, −1, 0); u3 = (1, 1, 1) expresados en una base B de
V3, constituyen a su vez otra base de dicho espacio.

b) Halla las coordenadas del vector v = (3, 1, 7), dado en función de la base B, respecto de la nueva base

 
B' = { u 1 , u 2 , u 3 }.

a) Tres vectores forman base si son linealmente independientes, y en efecto el determinante esno nulo.
 −22  8 

b) (3, 1, 7) = a(2, 1, 0) + b(3, –1, 0) + c(1, 1, 1) y resolviendo el sistema se obtiene que v =
u1 + u2 + 7u3 .
5
5


4.5 Sean los vectores a = (2, –3, 0), b = (1, 2, 4) y


a) 3 a – 2 b



b) 2 a – 3 c + 5 b
 
c) a · b
 

d) a ( b + c )


c = (0, –5, –2). Haz las siguientes operaciones.
   
e) ( a + b )( a – b )

  
f) (2 a+ 4 c )( c – b )
 
 
 
g) a · b + b · c + c · a
 
 
h) ( c – a )2 + ( b – a )2

a) (4, –13, –8)
b) (9, 19, 26)
c) –4
d) 11

e) –8
f) 226
g) –7
h) 54

Solucionario

5

Solucionario

4.6 Calcula el valor de m para que la proyección del vector a = (m, 1, 1) sobre la dirección del vector

b = (5, 0 –2) sea igual a 2.

La proyección es

 
a · b 5m − 2
 ==2.
|b|
29

Despejando, se comprueba que m =

2 + 2 29
5

.

4.7 Halla, en cada caso, el valor de b para que los vectores dados sean perpendiculares entre sí.


a) u = (6, 0, –7); v = (b, 1 + b, 3)


b) u = (5 + b, –4, 2b); v = (0, 2 – b, 4)


c) u = (b, –1 + b, –3); v = (b, 2, b)
En todos los casos debe ocurrir que su producto escalar sea nulo, por tanto:
a) b =...