Mates


PROBLEMES DE NOMBRES COMPLEXOS

1. Representa gràficament els oposats i conjugats de:
a) (-2-i)
b) (1+i)
c) 3i.

2. Escriu en forma trigonomètrica i polar els nombres: a) 4+3i; b) -1+i; c) 5-12i.
Sol: a)571,56º; b) 135º; c) 13292,6º

3. Escriu en les formes binòmica i trigonomètrica els nombres a) 3π/3; b) 3135º; c) 1270º.
Sol: a) 3(cos60+isen60)=3/2+3/2 i; b)3(cos135+isen135)=-3/2+3/2 i; c) cos270+isen270=-i

4. Calcula tres arguments del nombre z = (1-i) . Sol: a) 315º, 675º; 1035º

5. Quin és el mòdul i l’argument del conjugat d’un nombre complex qualsevol rα. Sol: r360-α.

6. Expressa en forma binòmica i polar el conjugat i l’oposat del nombre complex: 630º. Sol: a) 6330º, (3-3i); b) 6210º, (-3-3i)

7. Escriu en forma polar: a) 6-8i; b) +i; c)-3+4i. Sol: a) 10306,9º; b) 469,3º; c) 5126,9º

8. Escriu en forma binòmica el complex R=2(cos45º+isen45º). Representa’l gràficament. Sol: a) +i

9. El mòdul d’un complex és 5 i l’argument 600º. Escriu el nombre en forma trigonomètrica. Sol: 5(cos240+isen240)

10. Quin argument té: z = 4(3-2i)+5(-2+i).
Sol: 303,7º

11. Busca com ha de ser complex rα perquè sigui: a) un número real; b) unnúmero imaginari puro. Sol: a) α=0+kπ; b) α=90+kπ

12. Escriu en forma polar: a) 1+i; b) -1+i; c) 1-i; d) -1-i; e) 3+3i; f) -3-3i. Sol: a) 260; b) 2120; c) 2300; d) 2240; e) 30, f) 210
13. Quina figura representen en el pla els punts que tenen coordenades polars (3,α), α variable?. I els que tenen (r90º)?
Sol: a) circumferència de centre (0,0) y radio 3; b) semieix OY positiuOperacions:

1. Efectua : a) (2+3i)+(4-i); b) (3+3i) - (6+2i); c) (3-2i) + (2+i) - 2(-2+i);
Sol: a) (6+2i); b) (-3+i); c) (9-3i);

2. Multiplica: a) (1+2i)·(3-2i); b) (2+i)· (5-2i); c) (i+1)·(3-2i)·(2+2i);
d) 3·(2-i)·(2+3i)·(i).
Sol: a) 7+4i; b) 12+i; c) 8+12i; d) -12+21i

3. Efectua: a) (2+i)/(1-2i); b) (7-i)/(3+i); c) (5+5i)/(3-i); d) (3-i)/(2+i);
e) (18-i)/(3+4i). Sol: a) i; b)2-i; c) 1+2i; d) 1-i; e) 2-3i

4. Efectua: a) [2i · (-i+2)] / (1+i); b) [(-2i)2·(1+3i)]/(4+4i); c) [(1+3i)·(1+2i)]/(1+i). Sol: a) 3+i; b) -2-i; c) 5i

5. Donat z=2+2i, calcula y representa: a) z’ = el conjugat, b) la suma z+z'; c) el producte z·z'. Sol: a) 2-2i; b) 4; c) 8

6. Calcula: a) (3+i)·(2+i)-(1-i)·(2-2i); b) (3-2i)+(1+2i)·(6-2i)-(2-i);
c) (3+2i)+(2-4i)·6. Sol: a) (5+9i); b)11+9i; c) 15-22i

7. Efectua: a) (cos30º+isen30º)·[2(cos15º+isen15º)]; b) [2(cos23º+isen23º)] · [3(cos37º+isen37º)]; c) [5(cos33º+isen33º)]·257º; d) (2+2i)·(1-i); e) (3+4i)·1180º.
Sol: a) 245º = +i; b) 660º = 3+3i); c) 1090º=10i; d) 40º=4; e) 5233º=-3-4i

8. Efectua: a) 1150·330; b) 660:215; c) 220º·130·270; d) 6(2π/3):390º; e) (5π/9)9; f) (2+2i)4.
Sol: a) 3180º; b) 345º; c) 4120º; d)230º; e) 59180º; f) 64180º

9. Simplifica:
a) b) c)
Sol: a) 130º; b) 230º; c) 1330

10. Resol les equacions: a) x3-27=0. b) x5+32=0.
Sol: a) x=3; x=3120; x=3240; b) 236+72k

11. Donats z = (1,3), w = (2,1). Troba : a) z-w b) z·w c) z-1.
Sol: a) -1+2i; b) -1+7i; c) (1/10)-(3/10i)


12. Calcula Sol: 1

13 Resol: a) x2+4=0; b) x2-9=0; c) x2+1=0.
Sol: a) ± 2i; b) ±3; c) ±i14 Calcula: a) [2(cos25+isen25)]4. b) (30º)8.
Sol: a) 16100º; b) 81240º

15. Calcula el mòdul: 5.(i2+i-3)/(i2-3i). Sol: z=-1-2i; |z|=

16. Calcula: (-2+2i)64 Sol: 8328640 = 832

17 Calcula (z3+z)/(z2+2) para z=1+i.
Sol: a) 1/2+i

18. Calcula: a) (1+i)20, b) (2-2i)30, c) (--i)12 expressant el resultat en forma polar i binòmica. Sol: a) 210180 = -210; b) 430180º = -430; c) 2120º= 4096

19. Quant val x perquè el nombre (1+xi)2 sigui imaginari pur.
Sol: x=1

20. Calcula els nombres a i b perquè es compleixi: (3+ai)+(b+3i) = 5+2i.
Sol: x=-1; y=2

22. Determina el valor d’x per: (x-i)/(1-i)=(2+i). Sol: x=3

23. Calcula a perquè z = (4+ai)/(1-i) sigui: a) Imaginari pur. b) Real. Sol: a) a=4; b) a=-4





Problemes

1. El producte de dos nombres...