Mates

SEPTIEMBRE 2004

OPCIÓN A

1. Discutir según los valores de m la continuidad y derivabilidad de la función:
⎧3 − mx 2 ⎪ f ( x) = ⎨ 2 ⎪ ⎩ mx si si x ≤1 x >1

SOLUCIÓN: Para que una función sea continua en todos sus puntos, en cada uno de ellos se debe cumplir que: • Que exista la imagen en el punto dado: f(x0) ∈ ℜ • Que existan los límites laterales y sean iguales: lim+ f ( x ) = lim− f ( x) = lim f ( x )
x → x0 x → x0 x → x0

•

Y que se verifique que: f(x0) = lim f ( x)
x → x0

La función a trozos dada está compuesta por dos funciones que son continuas en: (-∞, 1) ∪ (1, +∞) Por tanto, queda saber qué ocurre en el punto x0 = 1. Así pues, para x0 = 1: • La imagen en el punto resulta: f(1) = 3 - m

•

⎧ lim+ f ( x) = lim(3 − mx 2 ) = 3 − m x →1 ⎪ x →1 Los límiteslaterales: ⎨ 2 2 ⎪ lim− f ( x) = lim( ) = x →1 mx x →1 m ⎩

Para que f(x) sea continua en dicho punto se requiere que ambos límites sean iguales y coincidan con la imagen en el punto dado, resultando así:

3− m =

2 ⇒ m

m2 – 3m + 2= 0

Siendo las raíces de dicho polinomio m= 1 y m= 2. Para que sea derivable, además, las dos derivadas laterales tienen que ser iguales, de modo que:

⎧ 2mx 2 ⎪f '( x) = ⎨ −2 ⎪ 2 ⎩ mx

si si

x ≤1 x >1

habrá de ser en x0 = 1: f’(1+) = 2m =

−2 = f’(1-) ⇒ m

2m2 + 2= 0, obteniéndose en este caso m = ±1.

Por tanto, concluimos diciendo que sólo para m =1 la función dada es continua y derivable, sin embargo, para m = 2 fallaría la derivabilidad. Así pues la función resultante sería:
⎧ 3 − x 2 si x ≤ 1 ⎪ f ( x) = ⎨ 2 si x > 1 ⎪ ⎩ x

2. a)Dibujar los recintos limitados por la curva y = x 2 , y las rectas: y = x , b) Calcular las áreas de dichos recintos.

x = 2.

SOLUCIÓN: Área =

∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x
1 2 2 0 1

2

− x ) dx =
2

⎡ x 2 x3 ⎤ ⎡ x3 x 2 ⎤ = ⎢ − ⎥ + ⎢ − ⎥ = 2 (uds 2 ) ⎣ 2 3 ⎦ 0 ⎣ 3 2 ⎦1

1

3. Discutir el sistema según los valores de k y resolverlo en el caso que sea compatible indeterminado: + 2z = 0⎧ kx ⎪ ky − z = k ⎨ ⎪ ⎩ x + 3y + z = 5 SOLUCIÓN:

Sean M = “Matriz de los coeficientes de las incógnitas” y MA = “Matriz ampliada con los términos independientes”, es decir,
⎛k 0 2 ⎞ ⎜ M = ⎜ 0 k −1⎟ y MA = ⎟ ⎜1 3 1 ⎟ ⎝ ⎠
⎛k 0 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 k −1 k ⎟ ⎜1 3 1 5⎟ ⎝ ⎠

Aplicando ahora el Teorema de Rouché-Frobenius: • • • Si r(M) = r(MA) = n (número de incógnitas) ⇒ El sistema dado es CompatibleDeterminado. Si r(M) = r(MA) < n ⇒ El sistema de ecuaciones es Compatible Indeterminado. Si r(M) ≠ r(MA) ⇒ El sistema es Incompatible.

En nuestro problema si |M| ≠ 0, entonces r(M) = r(MA) = 3, así pues, veamos para qué valores de k se anula el determinante:
k 0 2

|M| = 0 k −1 = k2 + k ⇒ |M| = 0 si k = 0 y k = -1, 1 3 1 ♦ Si k ≠ 0 y k ≠ -1, el Sistema será Compatible y Determinado, ya que r(M)= r(MA) = 3. ♦ Si k = 0, resulta r(M) < 3, por otro lado, la matriz ampliada:
⎛0 0 2 0⎞ ⎜ ⎟ M = ⎜ 0 0 −1 0 ⎟ ⎜1 3 1 5⎟ ⎝ ⎠
A

en cuyo caso será r(M) = r(MA) = 2 < n = 3 (un grado de libertad), lo que implica que el sistema de ecuaciones es Compatible Indeterminado. ♦ Si k = -1, resulta también r(M) < 3, y por otro lado, la matriz ampliada:
⎛ −1 0 2 0 ⎞ ⎟ ⎜ M = ⎜ 0 −1 −1 −1⎟ ⎜1 3 1 5⎟ ⎝ ⎠
A0

2 1

0 5

admite el menor

−1 −1 −1 ≠0 3

en cuyo caso será r(MA) =3 ≠ r(M), lo que implica que el Sistema es Incompatible.

Resolvemos ahora el sistema para k = 0, siendo para este valor el sistema Compatible Indeterminado, quedando así,
+ 2z = 0 ⎧ ⎪ − z =0 ⎨ ⎪ ⎩ x + 3y + z = 5

⇒

z=0 x = 5 – 3y y=λ

y obteniéndose la solución: (5-3λ , λ , 0), con λ∈ ℜ .

4. Hallar laecuación del plano que pasa por el punto (2, -4, 0) y contiene a la recta:

= 4 ⎧ x+ y r ≡⎨ + z=−2 ⎩−3x

SOLUCIÓN:

• • •

Dado un punto del plano es el dado por A(2, -4, 0) r r Los vectores: n1 = (1, 1, 0) y n2 = (-3, 0, 1) A partir del sistema dado se obtiene:

2 1 ⎧ ⎪ x = 3 + 3λ ⎪ = 4 ⎧ x+ y 10 1 ⎪ ⇒ ⎨ ⎨y = + λ + z=−2 3 3 ⎩ −3 x ⎪ ⎪ z=λ ⎪ ⎩ 2 10 de modo que consideramos otro punto...