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EJERCICIOS ANÁLISIS 2º BHTO (Problemas propuestos en selectividad)


1. Sea la función con a un parámetro real. Se pide:

a) Determinar, razonadamente, el valor del parámetro apara que f(x) sea continua en x = 0.
b) ¿Para qué valores del parámetro a es continua f(x) en x = 3? Razonar la respuesta.
c) Determina el valor del parámetro a para que


SOLUCIÓN.

a) Para que la función sea continua en x = 0 debe ser . Para verificar esta condición debe cumplirse:
i)
ii)
iii) Para a = 1 se verifica:

es decir, para que lafunción sea continua en x = 0 debe ser a = 1.

b) Debe ocurrir que :
i)
ii) no existe valor de a para el que y por tanto, la función no es continua en x = 3 (a la derecha de x = 3 la función tiene una asíntota vertical)

c)










2. Considerar la función . Se pide:

a) Calcular los valores de a y b para que f(x) tenga un punto de inflexión en el punto (1 , 2) .b) Para a = 1 y b = 0, calcular . Interpretar geométricamente esta integral.



SOLUCIÓN.

a) Si tiene un punto de inflexión en debe ocurrir: y
Se tiene: . Entonces:
b) Tenemos: luego: Es el área de la región limitada por la curva , el eje de abscisas y las rectas x = 2 y x = 4.






3. Considerar la función . Se pide:
a) Darlos intervalos de crecimiento y decrecimiento, de concavidad y convexidad de la función. Razonar si existen máximos, mínimos y puntos de inflexión.
b) Razonar si existen asíntotas y en caso de que existan, calcularlas.
c) Representar la gráfica de la función.
d) Calcular . Explicar qué representa este valor.


SOLUCIÓN.

a)  Tenemos:luego la función es creciente en y

decreciente en . No tiene puntos de máximo ni de mínimo porque
 la función es cóncava. No tiene puntos de inflexión porque
b)  x = 0 es una asíntota vertical pues
 y = 1 es una asíntota horizontal pues
c)

d)

Representa el área del recinto limitado por la gráfica de la función, eleje de abscisas y las rectas x = 1 y x = 4.







4. Sea la función donde b es un parámetro real. Se pide:

a) Calcular el valor del parámetro b para que f(x) sea continua en x = 1 y en x = 1.
b) Calcular el área del recinto plano limitado por y = f(x), y = 0, x = 0, x = 2. Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta.


SOLUCIÓN.

a) Para quela función sea continua en x = 1 y en x = 1, debe ocurrir:

i) y
ii)
f(x) es continua en x = 1
iii) lo que se verifica cuando b = 6
que como se puede comprobar, se verifica.
Por tanto, la función es continua para b = 6.

b) Entre x = 0 y x = 2, la función está definida así:


Se tiene:

y portanto:





5. Dada la función , se pide:

a) Determinar, en caso de que existan, los máximos y mínimos de la función f(x) en el intervalo .
b) Calcular el área del recinto limitado por: y = f(x) , y = f’(x). Explicar los pasos seguidos para obtener la respuesta.


SOLUCIÓN.

a) (punto crítico). Como en la función tiene un máximo.
b) Consideremosla función diferencia:
Los puntos de corte de esta función con el eje de abscisas son:








6. a) Determinar el área limitada entre las parábolas .
b) Determinar una función f(x) que verifica:


SOLUCIÓN.

a) Escribamos la función diferencia de las dadas:

Calculemos sus puntos de corte con OX (límites de integración):...