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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

v Definición y representación geométrica del conjunto de los números complejos. v Modulo y argumento de un número complejo. v Opuesto y el conjugado de un número complejo. v Operaciones entre números complejos en la forma binómica. v Forma trigonométrica y exponencial de un número complejo. v Operaciones con complejos en forma trigonométrica y exponencial. vPotencia de un números complejo (fórmula de Moivre). v Raíz enésima de un número complejo v Grafica de conjuntos de números complejos. v El polinomio complejo. Teorema fundamental del algebra.

PROFESOR: VICTOR ROJAS CERNA Mayo - 2008

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OBJETIVOS • • • • • • • • • • • Identificar el conjunto de los números complejos con el plano cartesiano R2. Representar gráficamente números complejos.Determinar el modulo y argumento de un número complejo. Determinar el opuesto y el conjugado de un número complejo e interpretarlos gráficamente. Realizar operaciones con números complejos en la forma binómica. Expresar un complejo en forma trigonométrica y exponencial. Realizar operaciones con complejos en forma trigonométrica y exponencial. Determinar potencias reales de números complejosutilizando la fórmula de Moivre. Determinar e interpretar las raíces de números complejos Graficar regiones en el plano complejo. Establecer y aplicar el teorema fundamental del algebra.

Ejm. a) Dado el polinomio P ( x ) = x + x − 1 .Determine el número de raíces complejas
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b) Sabiendo que −
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3 y 1 + 2i son raíces del polinomio P( x) = x − x + 8x 2 − 9 x − 15 . Halle la suma de las demásraíces.
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c) Determine una de las raíces de la ecuación:

z 2 + ( 2 + i ) z − (13 − 13i) = 0

INTRODUCCIÓN A mediados del siglo XVI, el médico y matemático italiano Girolamo Cardano publicó un libro titulado Ars Magna en el que se muestra un procedimiento algebraico para resolver ecuaciones polinómicas de tercer y cuarto grado, completando estudios previos de Scipione del Ferro y NicoloFontana, éste último más conocido por su apodo Tartaglia. Sin embargo, en ocasiones, como en el ejemplo clásico x = 15 x + 4 , en el que hay tres soluciones reales, la fórmula obtenida incluye la raíz cuadrada de números negativos y Cardano pensó que no era aplicable a ciertas ecuaciones. Unos treinta años más tarde, Rafael Bombelli justificó el uso del método de Cardano introduciendo los números queahora llamamos números complejos. Aplicó las reglas habituales del álgebra para
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operar con números de la forma a + − b y consiguió obtener las raíces de x = 15 x + 4 a partir de la fórmula de Cardano. Durante mucho tiempo después del trabajo de Bombelli se pensó que los números complejos eran una pérdida de tiempo. Aunque también hubo matemáticos que trabajaron con ellos y los aplicaron adiversos campos. En el siglo XVII, Albert Girard sugirió que una ecuación polinómica debería tener tantas raíces como indica su grado, que es lo que afirma el teorema fundamental del álgebra, aunque reconoce algunas de ellas como imposibles. René Descartes acuño el término “imaginarios” para esas raíces que no son números reales. Ya en el siglo XVIII, Leonhar Euler, gran maestro de las notaciones,fue el primero en utilizar en el año 1777 la notación i para la raíz cuadrada de −1. Calculó con exponenciales y logaritmos
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complejos, y obtuvo la fórmula e matemáticas.

iπ

= −1 , que relaciona las constantes más importantes de las

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10.-

N = {z ∈ C / Im( z ) < k }

Carl Friedrich Gauss obtuvo la primera demostración correcta del teorema fundamental del álgebra en su tesisdoctoral de 1797. Posteriormente en 1831 llamó a estos números “números complejos”, y los representó geométricamente como puntos del plano. La construcción de los números complejos como pares de números reales (a, b) se debe a William Hamilton en 1833. NUMEROS COMPLEJOS Definición.- El conjunto de los números complejos es el conjunto C = {( x, y ) / x, y ∈ R} , donde se han definido dos...