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7.-

APLICACIONES DE LA DERIVADA
AL ESTUDIO DE FUNCIONES.

1.- Monotonía: crecimiento y decrecimiento
Para calcular la monotonía de una función f(x), supuesta la existencia de la derivada,
convieneseguir estos pasos:

1. Calculamos f ′( x) .
2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f ′( x) = 0 . Determinamos también los
puntos de discontinuidad de f ( x ) .

3. Consideramos losintervalos determinados por las soluciones de f ′( x) = 0 y los puntos
de discontinuidad de f ( x) .

4. Calculamos el signo de f ′( x) en dichos intervalos:
¾ Si f ′( x0 ) > 0 , ∀x0 ∈ (a, b) , entonces f(x)es creciente en (a, b).
¾ Si f ′( x0 ) < 0 , ∀x0 ∈ (a, b) , entonces f(x) es decreciente en (a, b).

2.- Extremos relativos: máximos y mínimos
La determinación de los extremos relativos la haremos enbase al siguiente criterio:

1. Calculamos f ′( x) .
2. Hallamos los puntos que anulan la 1ª derivada, f ′( x) = 0 .
3. Calculamos f ′′( x) y sustituimos en ella los valores de x que han anulado laprimera
derivada y estudiamos el signo de f ′′( x0 ) :

¾ Si f ′′( x0 ) < 0 en x = x0 hay un máximo relativo.
¾ Si f ′′( x0 ) > 0 en x = x0 hay un mínimo relativo.
¾ Si f ′′( x0 ) = 0 , este criterio nopuede aplicarse, y recurriríamos a estudiar el signo
de la primera derivada para valores muy próximos por la izquierda y por la derecha
del punto, de forma que:

♦ Si f ′( x) es positiva a laizquierda de un punto crítico y negativa a la derecha,
el punto crítico es un máximo relativo.

♦ Si f ′( x) es negativa a la izquierda de un punto crítico y positiva a la derecha,
el punto crítico es unmínimo relativo.
Matemáticas I

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3.- Concavidad o curvatura de una función
Para determinar los intervalos de concavidad y convexidad procederemos del siguiente
modo:

1. Calculamos f ′′( x) .
2.Hallamos los puntos que anulan la 2ª derivada, f ′′( x) = 0 . Determinamos también los
puntos de discontinuidad de f ( x) .

3. Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f ′′( x) = 0...